Interi di Gauss

[pagliagiorgia]

Ciao ciao! Dato $ R=ZZ={a+ib | a,b in ZZ}$ sottoanello di $CC$ degli interi di Gauss, come posso dimostrare che $AA z in CC EE q in ZZ$ tale che $|z-q|^2= 1/2$ ?? Grazie già a tutti coloro che mi aiuteranno..

[krek1]

sviluppa i calcoli per uno $z in CC$ generico

$z=alpha + ibeta$

$q=a+ib$

$z-q = w$

$|w|= ...$

il suo quadrato a cosa è uguale?

sviluppa i calcoli e quello che viene fuori ponilo uguale a $1/2$

(alla fine potrebbe esserti di aiuto che $1/2$ è uguale a $(1/sqrt(2))^2$)

[pagliagiorgia]

allora $|w|=z-q=alpha+ibeta-a-ib$ ed elevando al quadrato $|w|^2 = |alpha+ibeta-a-ib|^2=1/2$... ma $1/2$ lo posso scrivere come mi hai suggerito tu come $(1/sqrt(2))^2$, dunque la relazione diventa $alpha+ibeta-a-ib = (1/sqrt(2))$. ok ma da qui cosa posso dire?

[krek1]

$w= (alpha-a)+i(beta-b)$

Come lo hai scritto tu non metti in evidenza la parte immaginaria e quella reale e quindi non ti serve a nulla calcoare un generico $w$ se poi non lo "guardi" nel giusto modo.

far notare che $Re(w)= alpha-a$ e $Im(w)=beta-b$

Potresti scrivere come è definito il valore assoluto (o modulo) di un numero complesso ?

Perchè quello che hai scritto non è il valore assoluto (o modulo) di un numero complesso.

[pagliagiorgia]

allora per un numero complesso $w$ vale $|w|=sqrt(Re(w)^2+Im(w)^2)$ quindi $(alpha-a)^2+(beta-b)^2 = 1/sqrt(2)$ ? ora svolgo i calcoli normalmente?

[krek1]

"pagliagiorgia":allora per un numero complesso $w$ vale $|w|=sqrt(Re(w)^2+Im(w)^2)$ quindi $(alpha-a)^2+(beta-b)^2 = 1/sqrt(2)$ ? ora svolgo i calcoli normalmente?

ok

correggi solo $1/sqrt(2)$ con $(1/sqrt(2))^2$

Poiche devi risolvere $|w|^2 = 1/2$

$(alpha-a)^2+(beta-b)^2 = (1/sqrt(2))^2$

fin qui ti è chiaro?

[pagliagiorgia]

si mi era sfuggito il quadrato... dunque $ (alpha-a)^2 + (beta-b)^2=(1/sqrt(2))^2$ cioè $alpha^2+a^2-2alphaa+beta^2+b^2-2betab=1/2$,
$2alpha^2+2a^2-4alphaa+2beta^2+2b^2-4betab=1$, ed ora cosa posso veder da tutti questi calcoli?

[krek1]

"pagliagiorgia":
$alpha^2+a^2-2alphaa+beta^2+b^2-2betab=1/2$,

Ti basta questa se sostituisci $a=x$ e $b=y$

$x^2+y^2-2alphax-2betay+alpha^2+beta^2=1/sqrt(2)$

che non è altro che una circonferenza di centro $C=(alpha,beta)$ e di raggio $r= 1/sqrt(2)$

ora se poni $c=(0,0)$ ottieni $x^2+y^2=1/2$
che sarebbe $a^2+b^2=1/2$ per $z=(0,0)$

e siccome $a$ è $b$ devono essere interi non esiste un $q in ZZ$ che soddisfa $a^2+b^2=1/2$ con $w=0$;

Tu chiedevi di dimostrare che per ogni $z in CC$ esistesse $q in R$ ...

Così si dimostra che anche se solo per uno $z$ non esiste $q$, fine.

P.S: vediamo se qualcuno conferma quello che ho scritto, potrei aver sbagliato qualcosa, ma mi pare tutto ok.

[pagliagiorgia]

Scusa ma non riesco bene a capire cosa abbiamo dimostrato alla fine... era una dimostrazione x assurdo? Poi ho notato di aver scritto $=1/2$ nel testo inziale, mentre nel mio esercizio c'era $<=1/2$, spero che non cambi il ragionamento comunque!

[krek1]

"pagliagiorgia":Scusa ma non riesco bene a capire cosa abbiamo dimostrato alla fine... era una dimostrazione x assurdo? Poi ho notato di aver scritto $=1/2$ nel testo inziale, mentre nel mio esercizio c'era $<=1/2$, spero che non cambi il ragionamento comunque!

Si c'è una bella differenza

1- $=$ si parla della circonferenza
2- $<=$ si parla del cerchio

Nel primo caso è vero quello che ho dimostrato poiche se trovo anche solo uno $z in CC$ per cui non esiste $q in R$ ho risolto.

Nel secondo caso allora è vero che esiste sempre un $q in R$ per ogni $z in CC$ (Alcuni $z$ hanno più di un $q$ che soddisfa $|w|^2<=1/2$ ), poichè le circonferenze di centro $c=(a,b)$ con $a,b in ZZ$, coprono tutta la superficie del piano complesso; il raggio $r=sqrt(2)/2$ è uguale alla meta della diagonale del quadrato unitario.

[pagliagiorgia]

allora sono stata proprio stupida a sbagliarmi a scrivere... scusami tanto! comunque ho capito allora la dimostrazione adesso... ti ringrazio ancora!

[pagliagiorgia]

Mi e' venuto un ulteriore dubbio sempre riguardo l'anello degli interi di Gauss. Come posso dimostrare che p numero primo con $bar p = bar3$ in $ZZ$ / $4ZZ$ e' un elemento irriducibile in tale anello?

[krek1]

Un problema un post, altrimenti difficilmente ti risponderà qualcuno.
Apri un altro post, e inizia tu a spiegare come faresti e dove hai riscontrato problemi.
Leggi cosa dice il regolamento in merito.

Ciao