Interi di Gauss
Propongo degli esercizi sugli interi di Gauss con i quali ho qualche problema...
1) Dimostrare che $ 2+i $ è primo.
2) Trovare $ M.C.D.(2+i,5) $ .
Per l'esercizio 1) ho pensato che è indifferente dimostrare che è primo o irriducibile... se $ 2+i $ è irriducibile, $ a+ib|2+irArr $ $ a+ib $ divisore banale; $ a+ib|2+irArra^2+b^2|5 $ cioè $ a^2+b^2=1 $ oppure $ a^2+b^2=5 $ ... in questo modo però mi vengono tanti casi da considerare e non so più come gestirli...
Per l'esercizio 2) ho pensato che se $ d=a+ib=M.C.D.(2+i,5)rArr d|2+i^^ d|5rArra^2+b^2|5^^a^2+b^2|25 $ , in questo modo sono nella stessa situazione dell'esercizio precedente...
Spero possiate aiutarmi... Grazie in anticipo.
1) Dimostrare che $ 2+i $ è primo.
2) Trovare $ M.C.D.(2+i,5) $ .
Per l'esercizio 1) ho pensato che è indifferente dimostrare che è primo o irriducibile... se $ 2+i $ è irriducibile, $ a+ib|2+irArr $ $ a+ib $ divisore banale; $ a+ib|2+irArra^2+b^2|5 $ cioè $ a^2+b^2=1 $ oppure $ a^2+b^2=5 $ ... in questo modo però mi vengono tanti casi da considerare e non so più come gestirli...
Per l'esercizio 2) ho pensato che se $ d=a+ib=M.C.D.(2+i,5)rArr d|2+i^^ d|5rArra^2+b^2|5^^a^2+b^2|25 $ , in questo modo sono nella stessa situazione dell'esercizio precedente...
Spero possiate aiutarmi... Grazie in anticipo.
Risposte
Per il primo prova a riflettere sul fatto che la norma è moltiplicativa e a quali sono gli elementi di norma $1$ in $\ZZ$.
Dal primo esercizio sai che $2 + i$ è primo, quindi non ci sono tante scelte per il MCD.
Dal primo esercizio sai che $2 + i$ è primo, quindi non ci sono tante scelte per il MCD.
Scusate, è il mio primo intervento e spero di non fare figuracce:
1) Cerchiamo \(z \in \mathbb{Z} \ : z|(2+i) \wedge z\notin \mathbb{S_1} \).
Sappiamo che \(|z| | |(2+i)|\) \(\Rightarrow\) \(a^2 +b^2|5\)\(\Rightarrow\) \(a^2 +b^2=1 \vee a^2 +b^2=5\).
Poiché \(z\notin \mathbb{S_1} \) avremo \(a^2 +b^2=5\).
Ci riduciamo a due famiglie di casi: \(z= (2+i)* \mathbb{S_1} \) o \( \bar z=(2+i) * \mathbb{S_1}\).
La prima famiglia è quella degli associati, ci riduciamo quindi a vedere che non può appartenere alla seconda:
Senza perdere di generalità scegliamo \( z=(2-i)\) \(\Rightarrow\) \( (2-i)|(2+i)\)\(\Rightarrow\) \((\alpha +i \beta)(2-i)=(2+i)\) \(\Rightarrow\) \(2\alpha+\beta=2 \wedge 2\beta-\alpha=1\) \(\Rightarrow\) \(\alpha=3/5 \wedge \beta=4/5\)\(\Rightarrow\) \((\alpha +i\beta)\notin\mathbb{Z}\).
Quindi gli unici divisori sono quelli banali e i loro associati, \((2+i)\) è primo.
2) Sfruttiamo l'esercizio precedente, sappiamo che \((2+i)\) è primo.
Ora dobbiamo solo provare se \((2+i)\) divide o meno \(5\):
\((\alpha +i \beta)(2+i)=5\)\(\Rightarrow\) \(2\alpha-\beta=5 \wedge 2\beta+\alpha=0\) \(\Rightarrow\) \(\alpha=2 \wedge \beta=-1\)\(\Rightarrow\) \( (2+i)|5\) \(\Rightarrow\) \( ((2+i),5)=(2+i)\).
1) Cerchiamo \(z \in \mathbb{Z} \ : z|(2+i) \wedge z\notin \mathbb{S_1} \).
Sappiamo che \(|z| | |(2+i)|\) \(\Rightarrow\) \(a^2 +b^2|5\)\(\Rightarrow\) \(a^2 +b^2=1 \vee a^2 +b^2=5\).
Poiché \(z\notin \mathbb{S_1} \) avremo \(a^2 +b^2=5\).
Ci riduciamo a due famiglie di casi: \(z= (2+i)* \mathbb{S_1} \) o \( \bar z=(2+i) * \mathbb{S_1}\).
La prima famiglia è quella degli associati, ci riduciamo quindi a vedere che non può appartenere alla seconda:
Senza perdere di generalità scegliamo \( z=(2-i)\) \(\Rightarrow\) \( (2-i)|(2+i)\)\(\Rightarrow\) \((\alpha +i \beta)(2-i)=(2+i)\) \(\Rightarrow\) \(2\alpha+\beta=2 \wedge 2\beta-\alpha=1\) \(\Rightarrow\) \(\alpha=3/5 \wedge \beta=4/5\)\(\Rightarrow\) \((\alpha +i\beta)\notin\mathbb{Z}\).
Quindi gli unici divisori sono quelli banali e i loro associati, \((2+i)\) è primo.
2) Sfruttiamo l'esercizio precedente, sappiamo che \((2+i)\) è primo.
Ora dobbiamo solo provare se \((2+i)\) divide o meno \(5\):
\((\alpha +i \beta)(2+i)=5\)\(\Rightarrow\) \(2\alpha-\beta=5 \wedge 2\beta+\alpha=0\) \(\Rightarrow\) \(\alpha=2 \wedge \beta=-1\)\(\Rightarrow\) \( (2+i)|5\) \(\Rightarrow\) \( ((2+i),5)=(2+i)\).
Grazie mille per le risposte!
Per quanto riguarda il secondo esercizio mi chiedevo se l'algoritmo che stavo seguendo mi porta a risolverlo e come potevo continuare. (Indipendentemente dal fatto che $ 2+i $ è primo, cercavo un procedimento generale per qualsiasi coppia di elementi...)
Per quanto riguarda il secondo esercizio mi chiedevo se l'algoritmo che stavo seguendo mi porta a risolverlo e come potevo continuare. (Indipendentemente dal fatto che $ 2+i $ è primo, cercavo un procedimento generale per qualsiasi coppia di elementi...)
Proviamo ad andare avanti con la tua argomentazione:
$a^2+b^2|5 wedge a^2+b^2|25 Rightarrow a^2+b^2=1 vv a^2+b^2=5 Rightarrow a^2+b^2=5$ ( Perché cerchiamo il massimo!)
Da qui riparti con l'argomentazione blu di prima e trovi che l'insieme degli M.C.D. è dato da:
$(2+i)* \mathbb{S}_1$.
$a^2+b^2|5 wedge a^2+b^2|25 Rightarrow a^2+b^2=1 vv a^2+b^2=5 Rightarrow a^2+b^2=5$ ( Perché cerchiamo il massimo!)
Da qui riparti con l'argomentazione blu di prima e trovi che l'insieme degli M.C.D. è dato da:
$(2+i)* \mathbb{S}_1$.
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