Interderivato di sottogruppi [risolto]

[Rodolfo Medina]

Salve a tutti. Se H e K sono sottogruppi normali di un dato gruppo G, avrei
bisogno di dimostrare l'uguaglianza

[H K, L] = [H, L] [K, L],

dove il simbolo [H, L] denota il cosiddetto interderivato di due sottogruppi,
cioè l'insieme dei commutatori [h, l] delle coppie di elementi di essi. Non ho
difficoltà che il primo membro di quell'uguaglianza sia incluso nel secondo,
ma non riesco a provare che il prodotto a destra dell'uguale sia incluso in
[H K, L]. Qualcuno può aiutarmi? Grazie infinite, e buon anno a tutti!

Rodolfo

[Pappappero1]

$[H,K]$ non è l'insieme dei commutatori ma il gruppo generato dai commutatori.

L'altra inclusione dovrebbe essere banale in quanto $ HK \supseteq H$ e perciò $[HK,L] \supseteq [H,L]$. Similmente $[HK,L] \supseteq [K,L]$ e perciò $[HK,L] \supseteq [H,L][K,L]$. La normalità credo serva solo per dimostrare che i prodotti sono gruppi.

[Rodolfo Medina]

Grazie mille! La normalità serve per l'inclusione inversa. Grazie davvero - Rodolfo