Integrali con i residui
E' appena terminato il corso di metodi matematici , e mi sto cimentando nel calcolo degli integrali con residui in vista dell'esame,naturalemente sto iniziando dai casi semplici,e mi è venuto un dubbio su questo esercizio:
$I=int_{|z|=3}tg(z)dz$
Ho pensato va bhe le singolarità stanno dove si annulla il coseno cioè ogni $+-pi/2$ e poichè il cammino di integrazione è simmetrico all'origine queste singolarità sono a due a due opposte, dunque i rispettivi residui si elidono e l'integrale è nullo.
Che dite è corretto come ragionamento?
Ringrazio in anticipo per le eventuali risposte
NB:con $|z|=3$ intendo la circonferenza di centro l'origine e raggio 3.
$I=int_{|z|=3}tg(z)dz$
Ho pensato va bhe le singolarità stanno dove si annulla il coseno cioè ogni $+-pi/2$ e poichè il cammino di integrazione è simmetrico all'origine queste singolarità sono a due a due opposte, dunque i rispettivi residui si elidono e l'integrale è nullo.
Che dite è corretto come ragionamento?
Ringrazio in anticipo per le eventuali risposte
NB:con $|z|=3$ intendo la circonferenza di centro l'origine e raggio 3.
Risposte
Attento che in generale nessuno ti assicura che i residui associati a poli uguali ma di segno opposto siano anch'essi uguali ma di segno opposto.
Facciamo un esempio.
$f(t) = 1/((t-1)(t+1)(t-2))$
I punti $t=1$ e $t=-1$ sono entrambi poli per $f$ e sono uguali ma di segno opposto.
Calcoliamo i residui associati ad essi:
$R[1] = -1/2$
$R[-1] = 1/6$
Se voglio calcolare l'integrale di $f$ esteso a una circonferenza di raggio maggiore di $1$ ma minore di $2$, non posso certo dire che tale integrale sia $0$, sebbene i poli che cadono nella curva siano simmetrici.
Come vedi, quello che dici tu non vale in generale, ma sarà valido solo per alcune funzioni con particolari proprietà di simmetria dei poli. Non basta dunque valutare la simmetria dei soli poli contenuti nella curva di integrazione.
Facciamo un esempio.
$f(t) = 1/((t-1)(t+1)(t-2))$
I punti $t=1$ e $t=-1$ sono entrambi poli per $f$ e sono uguali ma di segno opposto.
Calcoliamo i residui associati ad essi:
$R[1] = -1/2$
$R[-1] = 1/6$
Se voglio calcolare l'integrale di $f$ esteso a una circonferenza di raggio maggiore di $1$ ma minore di $2$, non posso certo dire che tale integrale sia $0$, sebbene i poli che cadono nella curva siano simmetrici.
Come vedi, quello che dici tu non vale in generale, ma sarà valido solo per alcune funzioni con particolari proprietà di simmetria dei poli. Non basta dunque valutare la simmetria dei soli poli contenuti nella curva di integrazione.
In questo caso , però il mio ragionamento è corretto, o la funzione non è tale che i residui si elidono?
Io stavo pensando , ma su questo non sono assolutamente sicuro anzi , che i poli essendo complessi coniugati ed essendo la funzione hermitiana, era garantito che i residui si elidevano.
Ripeto non sono molto sicuro però è un idea che mi è venuta, che ne pensi?
Cmq grazie per la risposta
Io stavo pensando , ma su questo non sono assolutamente sicuro anzi , che i poli essendo complessi coniugati ed essendo la funzione hermitiana, era garantito che i residui si elidevano.
Ripeto non sono molto sicuro però è un idea che mi è venuta, che ne pensi?
Cmq grazie per la risposta
Nel tuo caso, rispetto all'esempio che ti ho portato io, c'è anche un numeratore non costante che cambia le cose.
Basta fare i conti per accorgersene.
Calcoliamo dunque i due residui:
$R[pi/2] = lim_(t to pi/2) (t-pi/2)sin(t)/cos(t) = -1$
$R[-pi/2] = lim_(t to -pi/2) (t+pi/2)sin(t)/cos(t) = -1$
I residui dunque non sono di segno opposto!
Basta fare i conti per accorgersene.
Calcoliamo dunque i due residui:
$R[pi/2] = lim_(t to pi/2) (t-pi/2)sin(t)/cos(t) = -1$
$R[-pi/2] = lim_(t to -pi/2) (t+pi/2)sin(t)/cos(t) = -1$
I residui dunque non sono di segno opposto!
Ok ok ho capito !
Grazie mille
Grazie mille
Sfogliando un testo ho travato un utile formula per il calcolo dei residui nel caso di poli semplici:
Se la funzione integranda è del tipo
$(A(z))/(B(z))$ e $z_0$ è uno zero di ordine 1 per f,in particolare un polo semplice allora
$R_f(z_0)=(A(z_0))/(B'(z_0))$
Può essere utile quando si hanno poli semplici si risparmia di calcolare un limite
Se la funzione integranda è del tipo
$(A(z))/(B(z))$ e $z_0$ è uno zero di ordine 1 per f,in particolare un polo semplice allora
$R_f(z_0)=(A(z_0))/(B'(z_0))$
Può essere utile quando si hanno poli semplici si risparmia di calcolare un limite
Ecco un altro esercizio!(Posto qui per evitare di aprire nuovi topic inerenti sempre allo stesso argomento)
Calcolare
$I=int_{-oo}^{+oo}1/(1+x^7)dx$
Non sono sicuro della correttezza del mio svolgimento, per cui posto per chiedervi se qualcuno può darci un occhio.
Allora anzitutto ho considerato l'estenzione complessa della funzione integranda:
$f(z)=1/(1+z^7)$
Determino le singolarità:
$z^7=-1=e^(jpi)$
Applicando la formula di De Moivrè ottengo:
$z=e^(j(pi+2kpi)/7)$ con $k=0,...,6$
Dunque:
$z_0=e^(jpi/7)$,$z_1=e^(j3pi/7)$,$z_2=e^(j5pi/7)$,$z_3=e^(jpi)$.
E inutile continuare perchè le altre singolarità si trovano nel semipiano inferiore,infatti per calcolare l'integrale ci basta determinare le singolarita sull'asse delle x e su uno solo dei due semipiani.
Ora determino i residui:
$R_{f}(z_0)=lim_{z->z_0}(z-z_0)/(1+z^7)=-e^(jpi/7)/7$
E cosi via per gli altri 3 residui.
Alla fine ottengo
$I=2pij(R_{f}(z_0)+R_{f}(z_1)+R_{f}(z_2))+pijR_{f}(z_3)$
Che ne dite?
Calcolare
$I=int_{-oo}^{+oo}1/(1+x^7)dx$
Non sono sicuro della correttezza del mio svolgimento, per cui posto per chiedervi se qualcuno può darci un occhio.
Allora anzitutto ho considerato l'estenzione complessa della funzione integranda:
$f(z)=1/(1+z^7)$
Determino le singolarità:
$z^7=-1=e^(jpi)$
Applicando la formula di De Moivrè ottengo:
$z=e^(j(pi+2kpi)/7)$ con $k=0,...,6$
Dunque:
$z_0=e^(jpi/7)$,$z_1=e^(j3pi/7)$,$z_2=e^(j5pi/7)$,$z_3=e^(jpi)$.
E inutile continuare perchè le altre singolarità si trovano nel semipiano inferiore,infatti per calcolare l'integrale ci basta determinare le singolarita sull'asse delle x e su uno solo dei due semipiani.
Ora determino i residui:
$R_{f}(z_0)=lim_{z->z_0}(z-z_0)/(1+z^7)=-e^(jpi/7)/7$
E cosi via per gli altri 3 residui.
Alla fine ottengo
$I=2pij(R_{f}(z_0)+R_{f}(z_1)+R_{f}(z_2))+pijR_{f}(z_3)$
Che ne dite?
Mi sa che la posizione piu' coerente con l'esercizio sia $f(z)=1/(j+z^7)$ e quindi cambia il calcolo dei residui.
Inoltre occorre integrare sulla semicirconferenza di centro l'origine e raggio R e poi far tendere R all' $oo$
con l'applicazione eventuale di un lemma.
Ciao
Inoltre occorre integrare sulla semicirconferenza di centro l'origine e raggio R e poi far tendere R all' $oo$
con l'applicazione eventuale di un lemma.
Ciao
Perdonami ora ho editato la funzione integranda è
$1/(1+z^7)$
$1/(1+z^7)$
Con la correzione che ho apportato al testo il mio ragionamento è corretto?
Hai solo calcolato l'integrale relativo ad f(z).Poi ti tocca calcolare quello relativo ad f(x) e ciò si può fare come ti ho suggerito in precedenza.
Ciao
Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo