Integrale e O-grande per formula asintotica
Dimostra che per ogni \( x \geq 3 \) risulta che
\[ \sum_{2 < n \leq x} \frac{1}{n \log n} = \log \log x + C_1 + \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
dove \(C_1 \) è una costante reale.
Io ho pensato di fare così ma non riesco a dimostrare che
\[ - \int_2^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi < \infty \]
e
\[ \int_2^x \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi = \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
Abbiamo per la formula di Eulero-MacLauring
\[ \sum_{2 < n \leq x} \frac{1}{n \log n} = \int_2^x \frac{1}{\xi \log \xi } d \xi - \int_2^x \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi + \frac{\psi(2)}{2 \log 2} - \frac{\psi(x)}{x \log x} \]
Dove \( \psi(\xi)= \xi - \left \lfloor \xi \right \rfloor - \frac{1}{2} \)
Ottengo che
\[ \int_2^x \frac{1}{\xi \log \xi } d \xi = \log \log x - \log \log 2 \]
\[ \frac{\psi(2)}{2 \log 2} = - \frac{1}{4 \log 2} \]
e \[ - \frac{\psi(x)}{x \log x}= \mathcal{O}\left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
Mentre per quanto riguarda
\[ - \int_2^x \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi = - \int_2^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi + \int_x^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi \]
Non riesco a dire queste due cose:
\[ - \int_2^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi < \infty \]
e
\[ \int_2^x \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi = \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
E dunque porre \[ C_1 := - \frac{1}{4 \log 2} - \log \log 2 - \int_2^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi \]
e ottenere il claim
\[ \sum_{2 < n \leq x} \frac{1}{n \log n} = \log \log x + C_1 + \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
\[ \sum_{2 < n \leq x} \frac{1}{n \log n} = \log \log x + C_1 + \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
dove \(C_1 \) è una costante reale.
Io ho pensato di fare così ma non riesco a dimostrare che
\[ - \int_2^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi < \infty \]
e
\[ \int_2^x \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi = \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
Abbiamo per la formula di Eulero-MacLauring
\[ \sum_{2 < n \leq x} \frac{1}{n \log n} = \int_2^x \frac{1}{\xi \log \xi } d \xi - \int_2^x \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi + \frac{\psi(2)}{2 \log 2} - \frac{\psi(x)}{x \log x} \]
Dove \( \psi(\xi)= \xi - \left \lfloor \xi \right \rfloor - \frac{1}{2} \)
Ottengo che
\[ \int_2^x \frac{1}{\xi \log \xi } d \xi = \log \log x - \log \log 2 \]
\[ \frac{\psi(2)}{2 \log 2} = - \frac{1}{4 \log 2} \]
e \[ - \frac{\psi(x)}{x \log x}= \mathcal{O}\left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
Mentre per quanto riguarda
\[ - \int_2^x \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi = - \int_2^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi + \int_x^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi \]
Non riesco a dire queste due cose:
\[ - \int_2^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi < \infty \]
e
\[ \int_2^x \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi = \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
E dunque porre \[ C_1 := - \frac{1}{4 \log 2} - \log \log 2 - \int_2^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi \]
e ottenere il claim
\[ \sum_{2 < n \leq x} \frac{1}{n \log n} = \log \log x + C_1 + \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
Risposte
"3m0o":
\[ \int_2^x \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi = \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
Typo: gli estremi di integrazione
Forse posso fare così?
\[ \int_x^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi = \mathcal{O} \left( \int_x^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi \right) \]
\[ = \mathcal{O} \left( \int_x^{\infty} \frac{\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi \right)
= \mathcal{O} \left( - \int_x^{\infty} - \frac{\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi \right)= \mathcal{O}\left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
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