Insiemi, relazioni, applicazioni
"Sergio":
Studiando qua e là questi argomenti, ho trovato due tipi di trattazioni.
Ci sono ovviamente quelle elementari, che hanno però un paio di difetti (almeno dal mio punto di vista): avvicinano poco a temi più avanzati che prima o poi si dovranno affrontare e aiutano poco a svolgere esercizi come quelli del De Michele - Forti, che sono sì tosti, ma dedicati in buona parte agli studenti di Analisi 1.
Ci sono poi quelle più avanzate, ma mi pare che da una parte non dicano "tutto" (nel senso che privilegiano quanto può introdurre agli argomenti successivi che l'autore ha scelto di illustrare), e dall'altra indulgano in quelle incoraggianti omissioni del tipo "la semplice dimostrazione è lasciata per esercizio", "la dimostrazione è analoga a quella del teorema precedente", ecc. quando non addirittura un laconico "ovvio".
Mi sono quindi fatto appunti per me, dopo aver tediato alcuni generosi amici del forum con richieste di vario tipo, in cui ho cercato di andare un po' oltre il livello elementare, di preparare il terreno a sviluppi successivi, di dimostrare esplicitamente quanto più mi è riuscito (e nel modo in cui mi è riuscito...).
Forse questi appunti potrebbero risultare utili anche a qualcun altro, quindi li ho messi qui:
http://www.mclink.it/personal/MC1166/appunti/insrelapp.pdf
Ma li ho messi lì anche perché un sognetto ce l'ho: mi piacerebbe uno sguardo critico, anzi cattivissimo, da parte di "qualcuno pratico".
Gli ho dato uno sguardo veloce... Non è fatto male.
Da me queste cose si fanno in almeno 4 o 5 esami e non solo ad analisi, questi sono temi argomenti che vengono trattati, almeno velocemente, anche nei corsi base di logica e matematica discreta. Inoltre in questi è possibile trovare esercizi anche difficili che non hanno nulla a che fare con l’analisi.
Solo alcuni appunti, sono cose più che altro formali:
1. personalmente non amo quando nei libri di matematica gli autori scrivono tutta la dimostrazione senza andare mai a capo, magari in una sola frase. Ma questa è solo una cosa stilistica.
2. metterei altri esempi di relazione di equivalenza. Per esempio:
$aRb <=> a - b -= 0 mod 7$ il cui gruppo quoziente è l'insieme delle classi di resto modulo $7$.
Oppure uno ancora più particolare come la relazione definita dalle coppie ${(1, 2), (1, 1), (2, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)}$
3. mettere la proprietà irriflessiva è inutile, non usa nessuno quel nome. Se devi dire che non è riflessiva dici semplicemente che non lo è, non che gode della proprietà irriflessiva.
Risposte
Salve!
Riguardo le molte identità tra formule coinvolgenti insiemi, ti segnalo questo filone, un'idea che avevo discusso con un mio amico tempo fa. Dovrebbe funzionare per ogni formula coinvolgente insiemi.
Quando parli dell'insieme potenza (par. 1.5), potresti citare il fatto che dato un insieme X, la cardinalità di P(X) è maggiore di quella di X (con la bellissima dimostrazione di Cantor). Ma in effetti questo dovresti farlo dopo aver definito cosa sia una cardinalità ("classe di equivalenza modulo equipotenza").
Nella definizione 1.29 non definisci le n-ple. Immagino tu le possa definire per induzione dicendo che $(a_1,...,a_n)=((a_1,...,a_{n-1}),a_n)$, ma forse per questo dovresti introdurre formalmente il concetto di induzione.
Nel paragrafo del prodotto cartesiano potresti aggiungere la definizione alternativa di prodotto cartesiano: data la famiglia di insiemi $\{X_i\}_{i \in I}$, il loro prodotto cartesiano è per definizione $\{f:I \to \bigcup_{i in I} X_i\ |\ f(i) in X_i\ \forall i \in I\}$. Con questa definizione puoi parlare anche di prodotti indiciati sul vuoto, e pure dimostrare che essi non sono vuoti
.. ma per questo ti servono le funzioni, che definirai poi.
Non condivido la definizione di "relazione parziale", ma è solo una mia picca
Nell'esempio 2.9 definisci i razionali utilizzando gli interi, che ancora non hai definito. Essi si definiscono come insieme quoziente di $NN times NN$ modulo una cert'altra relazione di equivalenza; ma immagino che tu lo sappia.
Nella proposizione 3.6 parli di "applicazione inversa" ma non mi sembra tu l'abbia definita prima.
Suggerisco la seguente definizione alternativa di "funzione iniettiva" e "funzione suriettiva" che io preferisco (ma poi va a gusti). Chiamo "fibra" l'immagine inversa di un elemento del codominio. Allora una applicazione f si dice:
- iniettiva se le fibre hanno al più un elemento;
- suriettiva se le fibre hanno al meno un elemento.
Potresti citare il Cantor-Schroeder-Bernstein.
N.B. !! Non capisco il termine "viceversa" del punto b e del punto d della dimostrazione della proposizione 3.12: hai dimostrato due volte la stessa implicazione. Inoltre dissento vigorosamente con i punti b e d di tale proposizione: credo che dovresti aggiungere "per ogni $A in P(X)$" nel punto b, e sostituire B con Y (anche se così la cosa diviene tautologica) nel punto d.
Infatti prendi $f(x)=x^2$ funzione $RR to RR$, $A=\{0\}=B$. Allora banalmente f non è né suriettiva né iniettiva ma $f^{-1}(f(A)) = A$ e $f(f^{-1}(B))=B$.
Nella proposizione 3.16 dovrebbe essere $B subset X$.
------------
In definitiva consiglierei di introdurre la relazione di "equipotenza" tra insiemi (due insiemi si dicono equipotenti se esiste una biiezione dal primo al secondo), osservare che è un'equivalenza, prendere l'insieme X di tutti gli insiemi finiti, quozientarlo con tale relazione e definire $NN$ come essendo tale quoziente: "le cardinalità finite". Poi definire $ZZ$ come il quoziente di $NN times NN$ modulo la relazione di equivalenza "$(a,b) sim (c,d)$ se e solo se $a+d=b+c$" (qui la classe di (a,b) si indicherà con a-b).
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Scusa la cattiveria, ma l'hai chiesto tu
Riguardo le molte identità tra formule coinvolgenti insiemi, ti segnalo questo filone, un'idea che avevo discusso con un mio amico tempo fa. Dovrebbe funzionare per ogni formula coinvolgente insiemi.
Quando parli dell'insieme potenza (par. 1.5), potresti citare il fatto che dato un insieme X, la cardinalità di P(X) è maggiore di quella di X (con la bellissima dimostrazione di Cantor). Ma in effetti questo dovresti farlo dopo aver definito cosa sia una cardinalità ("classe di equivalenza modulo equipotenza").
Nella definizione 1.29 non definisci le n-ple. Immagino tu le possa definire per induzione dicendo che $(a_1,...,a_n)=((a_1,...,a_{n-1}),a_n)$, ma forse per questo dovresti introdurre formalmente il concetto di induzione.
Nel paragrafo del prodotto cartesiano potresti aggiungere la definizione alternativa di prodotto cartesiano: data la famiglia di insiemi $\{X_i\}_{i \in I}$, il loro prodotto cartesiano è per definizione $\{f:I \to \bigcup_{i in I} X_i\ |\ f(i) in X_i\ \forall i \in I\}$. Con questa definizione puoi parlare anche di prodotti indiciati sul vuoto, e pure dimostrare che essi non sono vuoti
.. ma per questo ti servono le funzioni, che definirai poi.Non condivido la definizione di "relazione parziale", ma è solo una mia picca
Nell'esempio 2.9 definisci i razionali utilizzando gli interi, che ancora non hai definito. Essi si definiscono come insieme quoziente di $NN times NN$ modulo una cert'altra relazione di equivalenza; ma immagino che tu lo sappia.
Nella proposizione 3.6 parli di "applicazione inversa" ma non mi sembra tu l'abbia definita prima.
Suggerisco la seguente definizione alternativa di "funzione iniettiva" e "funzione suriettiva" che io preferisco (ma poi va a gusti). Chiamo "fibra" l'immagine inversa di un elemento del codominio. Allora una applicazione f si dice:
- iniettiva se le fibre hanno al più un elemento;
- suriettiva se le fibre hanno al meno un elemento.
Potresti citare il Cantor-Schroeder-Bernstein.
N.B. !! Non capisco il termine "viceversa" del punto b e del punto d della dimostrazione della proposizione 3.12: hai dimostrato due volte la stessa implicazione. Inoltre dissento vigorosamente con i punti b e d di tale proposizione: credo che dovresti aggiungere "per ogni $A in P(X)$" nel punto b, e sostituire B con Y (anche se così la cosa diviene tautologica) nel punto d.
Infatti prendi $f(x)=x^2$ funzione $RR to RR$, $A=\{0\}=B$. Allora banalmente f non è né suriettiva né iniettiva ma $f^{-1}(f(A)) = A$ e $f(f^{-1}(B))=B$.
Nella proposizione 3.16 dovrebbe essere $B subset X$.
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In definitiva consiglierei di introdurre la relazione di "equipotenza" tra insiemi (due insiemi si dicono equipotenti se esiste una biiezione dal primo al secondo), osservare che è un'equivalenza, prendere l'insieme X di tutti gli insiemi finiti, quozientarlo con tale relazione e definire $NN$ come essendo tale quoziente: "le cardinalità finite". Poi definire $ZZ$ come il quoziente di $NN times NN$ modulo la relazione di equivalenza "$(a,b) sim (c,d)$ se e solo se $a+d=b+c$" (qui la classe di (a,b) si indicherà con a-b).
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Scusa la cattiveria, ma l'hai chiesto tu
"Martino":
Salve!
Riguardo le molte identità tra formule coinvolgenti insiemi, ti segnalo questo filone, un'idea che avevo discusso con un mio amico tempo fa. Dovrebbe funzionare per ogni formula coinvolgente insiemi.
Interessante, ora sono di fretta e non ci ho ragionato sopra per bene. Ma più tardi ci darò un occhiata per bene.
Comunque non sono sicuro che in un capitolo introduttivo sia opportuno introdurre anelli, campi e ideali... soprattutto se prima non hai neanche spiegato cos'è un gruppo...
"vict85":
Comunque non sono sicuro che in un capitolo introduttivo sia opportuno introdurre anelli, campi e ideali... soprattutto se prima non hai neanche spiegato cos'è un gruppo...
Hai ragione. Ma la sola nozione un po' astratta che serve è quella relativa alle operazioni + e * sull'insieme {0,1}. Non serve sapere che tali operazioni ne fanno un campo. Basta sapere che 0*1=1*0=0+0=0=0*0=1+1, 1*1=1=1+0=0+1.
1. ti proibisco di usare $\subset$ per indicare l'inclusione. Devi usare $\subseteq$. Nella nota 2 dici che $\subset$ e' piu' diffuso. Dove sono le statistiche? Su wiki ti ci schiafferei {{citazione necessaria}}!
2. pag 2, assioma 4. Che ragione c'e' di introdurre la scrittura $A + B + C + \ldots$? Mi riferisco al "$+$"
3. def. 2.2. pag 9 (vedi commento di vict85): irriflessiva e' diverso da non riflessiva. Io lascerei "irriflessiva" e "asimmetrica", e semmai metterei una noticina invitando il lettore a non far confusione fra irriflessiva e non riflessiva, asimmetrica e non simmetrica
4. pag. 9. che "ha gli stessi genitori di" sia riflessiva contrasta con il "senso comune". Anche dire che una retta e' paralella a se stessa, ha lo stesso problema. Io ci spenderei due parole su queste cose.
5. un bacione (casto) per la difesa del termine "totale", alla faccia degli economisti che parlano di relazione "completa"
6. ci metterei un paragrafo sul passaggio da ordine largo a ordine stretto. E sulla relazione duale. Insomma, per capirci, sui giri di valzer su $<$, $\le$ e $\ge$
2. pag 2, assioma 4. Che ragione c'e' di introdurre la scrittura $A + B + C + \ldots$? Mi riferisco al "$+$"
3. def. 2.2. pag 9 (vedi commento di vict85): irriflessiva e' diverso da non riflessiva. Io lascerei "irriflessiva" e "asimmetrica", e semmai metterei una noticina invitando il lettore a non far confusione fra irriflessiva e non riflessiva, asimmetrica e non simmetrica
4. pag. 9. che "ha gli stessi genitori di" sia riflessiva contrasta con il "senso comune". Anche dire che una retta e' paralella a se stessa, ha lo stesso problema. Io ci spenderei due parole su queste cose.
5. un bacione (casto) per la difesa del termine "totale", alla faccia degli economisti che parlano di relazione "completa"
6. ci metterei un paragrafo sul passaggio da ordine largo a ordine stretto. E sulla relazione duale. Insomma, per capirci, sui giri di valzer su $<$, $\le$ e $\ge$
"Sergio":
@vict85
-- Le dimostrazioni e l'andare a capo: credo che non si vada a capo solo per distinguere meglio la dimostrazione dal testo che segue, ma il quadratino dovrebbe essere sufficiente; proverò ad andare a capo e "vedremo l'effetto che fa" (cit.).
-- Proprietà irriflessiva: ne sento l'esigenza perché a volte capita di leggere che una relazione d'ordine è riflessiva (e transitiva e antisimmetrica) e poi trovarsi come esempio $(NN,<)$ (sì, proprio "minore", non $<=$; es. Kolmogorov e Fomin). Per lo stesso motivo ho cercato di distinguere tra antisimmetria e asimmetria.
Su irriflessiva avete ragione sono diverse... ma continuo a non aver mai visto nessuno controllare che una relazione fosse irriflessiva.
Hai capito male nel primo punto... io intendevo dentro, ritengo solo che una dimostrazione sia più leggibile se è divisa in blocchi logici (al suo interno).
Sul punto 1 di Fioravante concordo.
P.S: hai fatto un errore di ortografia nei ringraziamenti.
@Sergio
rispondo punto per punto
-- $sub$ e $sube$: non sai quanto mi faccia piacere la tua proibizione! Ho sempre pensato (v. qui) quello che dici, ma non sono pochi quelli che usano $sub$ al posto di $sube$ (ad es. Prodi e Rudin) e mi ero arreso. Cambierò tutti i simboli!
--- che piacere che mi fa!
-- $+$ nell'assioma 4. Meglio $uu$? È che ho scritto un po' troppo velocemente la parte sugli assiomi non volendo entrare nei mostruosi dettagli e volevo evitare una loro definizione formale (che a rigore, se non sbaglio, presuppone conoscenze di logica matematica tutt'altro che banali).
--- il mio suggeriemnto era di non usare nessun simbolo. Tanto scrivere A+B+c... non aggiunge nulla
-- Non sono sicuro di saper definire bene "non riflessiva" e "non simmetrica"...
--- io intendo "non riflessiva" come NON "riflessiva". Cioe' basta una mela marcia... Idem per simm
-- Genitori e parallele: non so, mi pare che qualsiasi relazione riflessiva comporti lo stesso problema di "contrasto col senso comune"; stranamente, "parallela a se stessa" non ha mai contrastato col mio. Forse dipende - come sempre - dalla definizione: se "parallela a" vuol dire "non ha punti in comune con" il contrasto è palese; se invece vuol dire "tutti i suoi punti hanno la stessa distanza minima da quelli di" il contrasto scompare, e questo può essere chiarito. Quanto ai genitori, forse "ha padre Pippo e madre Clarabella" sarebbe meglio di "ha gli stessi genitori di".
--- mi dilungo un po' di piu'. Tipicamente richiedere che una relazione sia riflessiva e' una questione puramente convenzionale. Molte relazioni che per i matematici sono "ovviamente" riflessive non lo sono per chi matematico non e'. Se la relazione e' "essere figli di", e provi a chiedere in giro se e' riflessiva, secondo me un po' di perplessita' la susciti. Idem per il parallelismo. Due rette sono parallele se non hanno punti in comune. E allora come fa una rella ad essere paralella a se stessa? Il matematico scafato (neanche troppo) sa benissimo quanto e' bello avere una relazione di equivalenza e non si perita di ridefinire in modo piu' furbo la relazione di parallelismo. Ebbene, queste consideraizoni che a mio parere ovvie non sono per chi si accosta alla mate, meriterebbero un po' di spazio nei tuoi appunti
-- Totale e completo: non ci avevo fatto caso. Perfino Debreu! Perfino Mas-Colell & C.! Certo è curioso...
--- gente senza polso che si arrende ai barbari (= economisti)
-- Passaggio da ordine largo a ordine stretto: bella idea.
--- vale un po' il discorso che facevo prima per la riflessivita'. Fare un po' di chiarezza per il neofita sul fatto che, con $<$, $>$, $\le$ e $\ge$, basta darne una e si ricavano le altre in modo standard, secondo me fa bene
ciao
rispondo punto per punto
-- $sub$ e $sube$: non sai quanto mi faccia piacere la tua proibizione! Ho sempre pensato (v. qui) quello che dici, ma non sono pochi quelli che usano $sub$ al posto di $sube$ (ad es. Prodi e Rudin) e mi ero arreso. Cambierò tutti i simboli!
--- che piacere che mi fa!
-- $+$ nell'assioma 4. Meglio $uu$? È che ho scritto un po' troppo velocemente la parte sugli assiomi non volendo entrare nei mostruosi dettagli e volevo evitare una loro definizione formale (che a rigore, se non sbaglio, presuppone conoscenze di logica matematica tutt'altro che banali).
--- il mio suggeriemnto era di non usare nessun simbolo. Tanto scrivere A+B+c... non aggiunge nulla
-- Non sono sicuro di saper definire bene "non riflessiva" e "non simmetrica"...
--- io intendo "non riflessiva" come NON "riflessiva". Cioe' basta una mela marcia... Idem per simm
-- Genitori e parallele: non so, mi pare che qualsiasi relazione riflessiva comporti lo stesso problema di "contrasto col senso comune"; stranamente, "parallela a se stessa" non ha mai contrastato col mio. Forse dipende - come sempre - dalla definizione: se "parallela a" vuol dire "non ha punti in comune con" il contrasto è palese; se invece vuol dire "tutti i suoi punti hanno la stessa distanza minima da quelli di" il contrasto scompare, e questo può essere chiarito. Quanto ai genitori, forse "ha padre Pippo e madre Clarabella" sarebbe meglio di "ha gli stessi genitori di".
--- mi dilungo un po' di piu'. Tipicamente richiedere che una relazione sia riflessiva e' una questione puramente convenzionale. Molte relazioni che per i matematici sono "ovviamente" riflessive non lo sono per chi matematico non e'. Se la relazione e' "essere figli di", e provi a chiedere in giro se e' riflessiva, secondo me un po' di perplessita' la susciti. Idem per il parallelismo. Due rette sono parallele se non hanno punti in comune. E allora come fa una rella ad essere paralella a se stessa? Il matematico scafato (neanche troppo) sa benissimo quanto e' bello avere una relazione di equivalenza e non si perita di ridefinire in modo piu' furbo la relazione di parallelismo. Ebbene, queste consideraizoni che a mio parere ovvie non sono per chi si accosta alla mate, meriterebbero un po' di spazio nei tuoi appunti
-- Totale e completo: non ci avevo fatto caso. Perfino Debreu! Perfino Mas-Colell & C.! Certo è curioso...
--- gente senza polso che si arrende ai barbari (= economisti)
-- Passaggio da ordine largo a ordine stretto: bella idea.
--- vale un po' il discorso che facevo prima per la riflessivita'. Fare un po' di chiarezza per il neofita sul fatto che, con $<$, $>$, $\le$ e $\ge$, basta darne una e si ricavano le altre in modo standard, secondo me fa bene
ciao
"Sergio":
[quote="Fioravante Parone"]-- Totale e completo: non ci avevo fatto caso. Perfino Debreu! Perfino Mas-Colell & C.! Certo è curioso...
--- gente senza polso che si arrende ai barbari (= economisti)
Curiosità: hai idea di chi ha cominciato questo sconcio, tra i barbari?
[/quote]
no, non ho presente chi "ha cominciato"
per il resto, enjoy!
"Sergio":
Venendo al merito, forse, se $n$ è un naturale e non si ragiona su $n to oo$, l'induzione non serve e può bastare una definizone ricorsiva: tripla è una coppia il cui primo elemento è una coppia, quadrupla è una coppia il cui primo elemento è una tripla, $n$-pla è una coppia il cui primo elemento è una $(n-1)$-pla.
Per come la vedo io, una definizione ricorsiva si serve (tacitamente, ma se ne serve) dell'induzione. Non credo ci si scappi.
Una definizione ricorsiva ha bisogno del Teorema di Ricorsione, che garantisce l'esistenza di funzioni ricorsive. Pero' questo teorema usa l'induzione (nella parte dell'unicita' di tali funzioni), e ne e' anche una generalizzazione.
Certo, se $n$ e' fissato, allora non hai bisogno dell'induzione, pero', secondo me, sarebbe opportuno introdurla (nella sua forma piu' semplice), perche' e' decisamente poco ortodosso fissare un certo $n$ e dire che per esso vale una data proprieta', senza dir niente sugli interi maggiori di $n$.
EDIT: o forse ho capito male cosa intendi fare
EDIT: o forse ho capito male cosa intendi fare
A me pare che tutto cio' di cui hai bisogno si trovi tra gli assiomi della teoria degli insiemi. Mi spiego: per introdurre gli insiemi, il tuo primo punto, hai bisogno degli assiomi della teoria degli insiemi (non necessariamente di tutti, all'inizio, ma di quelli di cui ti vuoi servire per una certa introduzione), e tra questi c'e' l'assioma dell'infinito, che garantisce la presenza di un insieme induttivo.
Salve.
Volevo far vedere con degli esempi la formalizzazione delle relazioni tra insiemi in "conticini algebrici" (ne ho accennato ed ho inserito un 'link' nel primo 'post'): dato un insieme X e P(X), il suo insieme delle parti, $P(X) \cong \{0,1\}^X$, tramite la biiezione che manda un sottinsieme U di X nella funzione $f:X to \{0,1\}$ che manda $x \in X$ in 0 se $x in U$, altrimenti lo manda in 1. Allora l'elemento 1 di P(X) (ovvero quello che ha tutte le componenti uguali a 1) è l'insieme vuoto, e l'elemento 0 di P(X) (ovvero quello che ha tutte le componenti uguali a 0) è X. Abbiamo due operazioni in P(X): la moltiplicazione e la somma. Abbiamo che (a e b sono sottoinsiemi di X):
$a+b = X-(a Delta b)$
$a * b = a cup b$
(naturalmente somma e prodotto sono definite componente per componente).
In particolare in P(X) ogni elemento è idempotente (ovvero se a è un sottoinsieme di X allora $a^2=a*a=a$) e 2=0 (in altre parole dato un sottoinsieme a di X, a+a=0).
Inoltre abbiamo:
$X-a = a+1$
$a Delta b = 1+a+b$
$a cap b = ab+a+b$
$a-b = a cap (X-b) = a(b+1)+a+b+1 = ab+b+1$
Provo allora a mostrare la prop 1.20 di Sergio. Indicherò i punti con 1,2,3... anziché con a,b,c...
(1) $a-(b cup c) = (a-b) cap (a-c)$.
Primo membro: $a-(b cup c) = a-bc = abc+bc+1$.
Secondo membro: $(a-b) cap (a-c) = (ab+b+1) cap (ac+c+1) = (ab+b+1)(ac+c+1)+ab+b+1+ac+c+1 =$
$= a^2bc+abc+ab+abc+bc+b+ac+c+1+ab+b+1+ac+c+1 = 2(abc+ab+ac+b+c) + abc+c+1 = abc+c+1$
(2) $(a cup b) - c = (a-c) cup (b-c)$
Primo membro: $(a cup b)-c = ab-c = abc+c+1$
Secondo membro: $(a-c) cup (b-c) = (ac+c+1) cup (bc+c+1) = (ac+c+1)(bc+c+1) = $
$ = abc+(c+1)^2+(ac+bc)(c+1) = abc+c+1$
(in particolare a) e b) nella prop sono uguali)
(3) $a-(b cap c) = (a-b) cup (a-c)$
Primo membro: $a-(b cap c) = a-(bc+b+c) = a(bc+b+c)+bc+b+c+1 = abc+ab+ac+bc+b+c+1$
Secondo membro: $(a-b) cup (a-c) = (ab+b+1)(ac+c+1) = abc+abc+ab+abc+bc+b+ac+c+1 = ab+abc+bc+b+ac+c+1$
(4) $a cup (b-c) = (a cup b)-(c-a)$
Primo membro: $a cup (b-c) = a(bc+c+1) = abc+ac+a$
Secondo membro: $(a cup b)-(c-a) = ab-(ac+a+1) = ab(ac+a+1)+ac+a+1+1 = abc+ab+ab+ac+a = abc+ac+a$
(5) $a cap (b-c) = (a cap b) - c$
Primo membro: $a cap (b-c) = a cap (bc+c+1) = a(bc+c+1)+a+bc+c+1 = abc+ac+a+a+bc+c+1 = abc+ac+bc+c+1$
Secondo membro: $(a cap b) - c = (ab+a+b)-c = (ab+a+b)c+c+1 = abc+ac+bc+c+1$
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So che a prima vista potrebbe sembrare un metodo astruso, ma il grande vantaggio è che ogni espressione insiemistica è ridotta ai suoi "minimi termini", ed è quindi molto meglio confrontabile con qualunque altra. In altre parole, se uno si scrive una tabella in cui a sinistra ci sono le formule insiemistiche e a destra le corrispondenti formule "algebriche", quando incontra una nuova formula insiemistica per vedere a quale formula corrisponde nella sua tabella non dovrà fare altro che tradurla in termini algebrici e scorrere la tabella, trovare la corrispondente formula algebrica, andare a vedere la formula insiemistica corrispondente. Insomma, si tratta di un metodo a dir poco ottimale, no?
Edito: inoltre con un po' di calcolo combinatorio si riesce a mostrare che dati n sottoinsiemi di un certo insieme X, gli insiemi ottenibili da essi utilizzando le operazioni di unione, intersezione e differenza sono (contando ogni volta anche il vuoto e tutto) $2^{2^n}$. Quindi le formule insiemistiche possibili concernenti tre insiemi (a meno di equivalenza di formule) sono 256 al massimo, cioè quando tutte le formule possibili sono a due a due distinte; e secondo me ciò è equivalente a dire che gli insiemi sono a due a due non disgiunti e non contenentisi, ma ci devo pensare... (edit: no, ci vogliono più ipotesi).
Non è fantastico?
Volevo far vedere con degli esempi la formalizzazione delle relazioni tra insiemi in "conticini algebrici" (ne ho accennato ed ho inserito un 'link' nel primo 'post'): dato un insieme X e P(X), il suo insieme delle parti, $P(X) \cong \{0,1\}^X$, tramite la biiezione che manda un sottinsieme U di X nella funzione $f:X to \{0,1\}$ che manda $x \in X$ in 0 se $x in U$, altrimenti lo manda in 1. Allora l'elemento 1 di P(X) (ovvero quello che ha tutte le componenti uguali a 1) è l'insieme vuoto, e l'elemento 0 di P(X) (ovvero quello che ha tutte le componenti uguali a 0) è X. Abbiamo due operazioni in P(X): la moltiplicazione e la somma. Abbiamo che (a e b sono sottoinsiemi di X):
$a+b = X-(a Delta b)$
$a * b = a cup b$
(naturalmente somma e prodotto sono definite componente per componente).
In particolare in P(X) ogni elemento è idempotente (ovvero se a è un sottoinsieme di X allora $a^2=a*a=a$) e 2=0 (in altre parole dato un sottoinsieme a di X, a+a=0).
Inoltre abbiamo:
$X-a = a+1$
$a Delta b = 1+a+b$
$a cap b = ab+a+b$
$a-b = a cap (X-b) = a(b+1)+a+b+1 = ab+b+1$
Provo allora a mostrare la prop 1.20 di Sergio. Indicherò i punti con 1,2,3... anziché con a,b,c...
(1) $a-(b cup c) = (a-b) cap (a-c)$.
Primo membro: $a-(b cup c) = a-bc = abc+bc+1$.
Secondo membro: $(a-b) cap (a-c) = (ab+b+1) cap (ac+c+1) = (ab+b+1)(ac+c+1)+ab+b+1+ac+c+1 =$
$= a^2bc+abc+ab+abc+bc+b+ac+c+1+ab+b+1+ac+c+1 = 2(abc+ab+ac+b+c) + abc+c+1 = abc+c+1$
(2) $(a cup b) - c = (a-c) cup (b-c)$
Primo membro: $(a cup b)-c = ab-c = abc+c+1$
Secondo membro: $(a-c) cup (b-c) = (ac+c+1) cup (bc+c+1) = (ac+c+1)(bc+c+1) = $
$ = abc+(c+1)^2+(ac+bc)(c+1) = abc+c+1$
(in particolare a) e b) nella prop sono uguali)
(3) $a-(b cap c) = (a-b) cup (a-c)$
Primo membro: $a-(b cap c) = a-(bc+b+c) = a(bc+b+c)+bc+b+c+1 = abc+ab+ac+bc+b+c+1$
Secondo membro: $(a-b) cup (a-c) = (ab+b+1)(ac+c+1) = abc+abc+ab+abc+bc+b+ac+c+1 = ab+abc+bc+b+ac+c+1$
(4) $a cup (b-c) = (a cup b)-(c-a)$
Primo membro: $a cup (b-c) = a(bc+c+1) = abc+ac+a$
Secondo membro: $(a cup b)-(c-a) = ab-(ac+a+1) = ab(ac+a+1)+ac+a+1+1 = abc+ab+ab+ac+a = abc+ac+a$
(5) $a cap (b-c) = (a cap b) - c$
Primo membro: $a cap (b-c) = a cap (bc+c+1) = a(bc+c+1)+a+bc+c+1 = abc+ac+a+a+bc+c+1 = abc+ac+bc+c+1$
Secondo membro: $(a cap b) - c = (ab+a+b)-c = (ab+a+b)c+c+1 = abc+ac+bc+c+1$
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So che a prima vista potrebbe sembrare un metodo astruso, ma il grande vantaggio è che ogni espressione insiemistica è ridotta ai suoi "minimi termini", ed è quindi molto meglio confrontabile con qualunque altra. In altre parole, se uno si scrive una tabella in cui a sinistra ci sono le formule insiemistiche e a destra le corrispondenti formule "algebriche", quando incontra una nuova formula insiemistica per vedere a quale formula corrisponde nella sua tabella non dovrà fare altro che tradurla in termini algebrici e scorrere la tabella, trovare la corrispondente formula algebrica, andare a vedere la formula insiemistica corrispondente. Insomma, si tratta di un metodo a dir poco ottimale, no?
Edito: inoltre con un po' di calcolo combinatorio si riesce a mostrare che dati n sottoinsiemi di un certo insieme X, gli insiemi ottenibili da essi utilizzando le operazioni di unione, intersezione e differenza sono (contando ogni volta anche il vuoto e tutto) $2^{2^n}$. Quindi le formule insiemistiche possibili concernenti tre insiemi (a meno di equivalenza di formule) sono 256 al massimo, cioè quando tutte le formule possibili sono a due a due distinte; e secondo me ciò è equivalente a dire che gli insiemi sono a due a due non disgiunti e non contenentisi, ma ci devo pensare... (edit: no, ci vogliono più ipotesi).
Non è fantastico?
"Martino":
Non è fantastico?
Sei per caso un matematico? Scherzi a parte, la "algebrizzazione" e' una buona cosa. Non penso che il manualetto di Sergio dovrebbe contenere tutte quelle cose.
Tuttavia, un cenno, a mo' di esempio, non ci starebbe male. Forse. L'idea di funzione caratteristica e di come si possa usare per "algebrizzare" potrebbe essere considerata.
Cosi' come l'osservazione che (esperienze vissute) sorprende spesso: un elemento di A^n e' una funzione da {1,...,n} in A
"Fioravante Patrone":
[quote="Martino"]
Non è fantastico?
Sei per caso un matematico? Scherzi a parte, la "algebrizzazione" e' una buona cosa. Non penso che il manualetto di Sergio dovrebbe contenere tutte quelle cose.
Tuttavia, un cenno, a mo' di esempio, non ci starebbe male. Forse. L'idea di funzione caratteristica e di come si possa usare per "algebrizzare" potrebbe essere considerata.
Cosi' come l'osservazione che (esperienze vissute) sorprende spesso: un elemento di A^n e' una funzione da {1,...,n} in A[/quote]
Io direi algebrista... non credo che altri matematici potrebbero considerarlo tale...
Comunque
fantastico....
"Fioravante Patrone":
[quote="Martino"]
Non è fantastico?
Sei per caso un matematico? [/quote]Perché? I matematici chiudono sempre i loro interventi con "non è fantastico?" ?
Comunque oggi ho avuto un momento di pazzia e ho cominciato la tabella con n=3. Magari riusciro' anche a finirla..
Ragazzi scusate il "fuori tema" ma ho appena saputo di aver passato (sic) un esame di teoria dei numeri e sono al settimo cielo
"Martino":
[quote="Fioravante Patrone"][quote="Martino"]
Non è fantastico?
Sei per caso un matematico? [/quote]Perché? I matematici chiudono sempre i loro interventi con "non è fantastico?" ?
[/quote]Ehm, volevo dire un'altra cosa, e temo che tu l'abbia capito: solo un matematico puo' dire "e' fantastico" di una paginata orribile di formulacce come quella che avevi scritto!
Mi ricordi un episodio di Asterix dove solo uno apprezzava la sbobba fornita come rancio alle truppe (egiziane, se ricordo bene): era un inglese...
"Martino":
Ragazzi scusate il "fuori tema" ma ho appena saputo di aver passato (sic) un esame di teoria dei numeri e sono al settimo cielo
"sic" cosa vuol dire?
Comunque sono molto contento per te!
"Fioravante Patrone":
[quote="Martino"]Ragazzi scusate il "fuori tema" ma ho appena saputo di aver passato (sic) un esame di teoria dei numeri e sono al settimo cielo
"sic" cosa vuol dire?
Comunque sono molto contento per te![/quote]
Ho scritto "sic" per rimarcare il fatto che sono molto contento di aver passato questo esame (insomma, per dare rilievo alla parola "passato"), dato che per quest'anno mi trovo in Erasmus in Francia e qui gli esami sono abbastanza difficili anche solo da passare (una vera e propria guerra, secondo me). Volevi sapere cosa significa letteralmente "sic"? E' latino e significa "così".
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