Insiemi : Relazione di equivalenza - proprietà

[marasma1]

Ciao a tutti, non riesco a capire un semplice passaggio nella soluzione di un esercizio:

e' richiesto di dimostrare la proprieta simmetrica su 2x + 3y = 5k

Ia soluzione dell'esercizio è: 2x + 3y = 5(x + y - k)

Con quale criterio secondo voi trova questa uguaglianza?

[Luca.Lussardi]

Devi essere più chiaro; non si capisce cosa intende l'esercizio. Hai una relazione? se si quale? devi quindi mostrare che è simmetrica?

[marasma1]

La relazione e' 2x + 3y = 5k
Devo dimostrare che e' simmetrica e transitiva

[Luca.Lussardi]

Devi dire per bene: $2x+3y=5k$ non è una relazione. Intendi forse che: $x$ e $y$ reali sono in relazione se $2x+3y$ è multiplo intero di $5$?

[marasma1]

Sia A = {1,2,3,4,5,6} e siano p la relazione in A data da:

xpy se e solo se 2x + 3y e' multiplo di 5

Verificare che p è una relazione di equivalenza

[marasma1]

[Luca.Lussardi]

Forse il modo più facile è elencare la relazione; ad esempio $1p1$ e $1p6$. Prova ad elencare gli altri e poi leggi semplicemente le proprietà della relazione di equivalenza.

[miles_davis1]

C'è un modo più ganerale di procedere. Te lo mostro per $ZZ$ perchè non ho capito su che tipo di insieme stai lavorando.

Riflessiva:
x p x <=> 2x+3x è multiplo di 5
ma 2x+3x=5x che è evidentemente un multiplo di 5

Simmetrica:
x p y => y p x
possiamo definire la relazione in un altro modo, cioè dicendo che x p y <=> 2x+3y è congruo a zero modulo 5, cioè in parole povere (se non sai cosa sono le congruenze) il resto della divisione euclidea per 5 è uguale a zero. Ora:
2x+3y è congruo a 0 mod 5, ma sappiamo che 2 è congruo a -3 mod 5 e 3 è congruo a -2 quindi la nostra relazione diventa -3x-2y=0 (mod 5), cioè, moltiplicando per -1, 3x+2y=0 (mod 5), ovvero ciò che volevamo per dimostrare la simmetria.

Transitiva:
x p y e y p z => x p z
sappiamo che:
2x+3y=0 (mod 5)
2y+3x=0 (mod 5)
sommando membro a membro otteniamo:
2x+3y+2y+3z=0 (mod 5)
ma per la riflessiva 3y+2y=0 (mod 5), quindi abbiamo la tesi di transitività:
2x+3z=0 (mod 5)

Questo puoi applicarlo a qualsiasi insieme di interi. Se ti serve qualche chiarimento sono qui. Ciao. Miles.

[Luca.Lussardi]

"Sia A = {1,2,3,4,5,6}"

Come fai a non capire su che insieme sta lavorando????

[marasma1]

Rileggendo un paio di volte quello che mi hai scritto ho capito a grandi linee la tua dimostrazione sulla Simmetrica,
ma alla fine arrivi ad avere -3x-2y=0 (mod 5)
mentre la soluzione del mio testo e' come ho scritto all'inizio:
2x + 3y = 5(x + y - k)

[irenze]

scusa eh, ma se -a=0(mod 5) anche a=0(mod 5) cioù a=5m per qualche m. nella soluzione che hai tu m è scritto esplicitamente, in quella di luca no ma il concetto è lo stesso...

[miles_davis1]

Scusa luca.lussardi, in sostanza non cambia molto ma A potrebbe essere l'anello $ZZ_6$ o un semplice sottoinsieme di $ZZ$ e mi sembrava "strano" considerare l'insieme A come mero sottoinsieme di $ZZ$, dal momento che, ad esempio, $2*6+3*6=30$ e $30$ non appartiene ad A. Tutto qui.
Per quanto riguarda la scrittura della soluzione, marasma1, $2x+3y=5(x+y-k)$ è equivalente a
$2x+3y-5x-5y=-5k$ e se consideri $mod 5$ tutto ciò hai la tesi.
Ciao. Miles.

[Luca.Lussardi]

Non importa che $30$ stia in $A$ oppure no; la relazione su $A$ è comunque ben definita. Comunque non serve più ormai, il problema è risolto.