Insiemi quoziente
Salve a tutti.
ho un problema nel determinare classi di equivalenza e insiemi quoziente rispetto a una relazione di equivalenza.
so che una classe di equivalenza è un insieme che contiene elementi tutti equivalenti tra loro (ad esempio, [x] è l'insieme di tutti gli elementi equivalenti a x), mentre un insieme quoziente è l'insieme delle classi di equivalenza rispetto ad una data relazione di equivalenza. il mio problema sta appunto nel determinare tali insiemi a partire da un'equivalenza.
ad esempio: in $ RR ^2-(0,0) $ si introduce la relazione ~ : $ (a,b)~(c,d)<=> det ( ( a , b ),( c , d ) ) =0 $ . verificare che la classe di equivalenza [(a,b)] è formata dai punti rella retta r per (0,0), (a,b) privata di (0,0). a quale configurazione geometrica corrisponde l'insieme quoziente ?
vi ringrazio sin d'ora per l'aiuto
ho un problema nel determinare classi di equivalenza e insiemi quoziente rispetto a una relazione di equivalenza.
so che una classe di equivalenza è un insieme che contiene elementi tutti equivalenti tra loro (ad esempio, [x] è l'insieme di tutti gli elementi equivalenti a x), mentre un insieme quoziente è l'insieme delle classi di equivalenza rispetto ad una data relazione di equivalenza. il mio problema sta appunto nel determinare tali insiemi a partire da un'equivalenza.
ad esempio: in $ RR ^2-(0,0) $ si introduce la relazione ~ : $ (a,b)~(c,d)<=> det ( ( a , b ),( c , d ) ) =0 $ . verificare che la classe di equivalenza [(a,b)] è formata dai punti rella retta r per (0,0), (a,b) privata di (0,0). a quale configurazione geometrica corrisponde l'insieme quoziente ?
vi ringrazio sin d'ora per l'aiuto
Risposte
Se tu hai un elemento, diciamo $(a,b)$ devi trovare quali sono le condizioni da porre su un generico elemento $(x,y)$ per far sì che sia nella stessa classe di equivalenza.
nel nostro caso si dve avere $a*y=b*x$. se $a=0$, siccome non c'è l'elemento $(0,0)$ nel nostro insieme, avremo $b!=0$ e allora $x=0$
da cui si ricava che la classe di equivalenza di $(0,b)$ è proprio la retta $y=0$, e il generico elemento è $(0,y)$.
se $a!=0$ si divide e si ha$b/a*x=y$ ora se $b=0$ allora $y=0$ e simile a prima,
se no si ricava (e arriviamo al caso generale), che anche $x!=0$ e allora $b/a=y/x$ e questa è la condizione affinchè i due punti appartengano alla stessa retta.
la configurazione potrebbe perciò essere una circonferenza direi. cosa ne pensi?
nel nostro caso si dve avere $a*y=b*x$. se $a=0$, siccome non c'è l'elemento $(0,0)$ nel nostro insieme, avremo $b!=0$ e allora $x=0$
da cui si ricava che la classe di equivalenza di $(0,b)$ è proprio la retta $y=0$, e il generico elemento è $(0,y)$.
se $a!=0$ si divide e si ha$b/a*x=y$ ora se $b=0$ allora $y=0$ e simile a prima,
se no si ricava (e arriviamo al caso generale), che anche $x!=0$ e allora $b/a=y/x$ e questa è la condizione affinchè i due punti appartengano alla stessa retta.
la configurazione potrebbe perciò essere una circonferenza direi. cosa ne pensi?
quindi, se ho $ a!=0 $ posso scrivere $ a*y=b*x <=> y=x*b/a $, che è l'equazione di una retta passante per l'origine e per (a,b) (visto che (a,b) verifica l'equazione), ma non so come esprimere il fatto che l'origine è esclusa dalle varie rette.
per quanto riguarda la configurazione geometrica del quoziente, avevo pensato ad un fascio di rette tutte passanti per l'origine...
resta il problema che non so quali sono le condizioni da porre sugli elementi dell'insieme quoziente. suggerimenti al riguardo?
per quanto riguarda la configurazione geometrica del quoziente, avevo pensato ad un fascio di rette tutte passanti per l'origine...
resta il problema che non so quali sono le condizioni da porre sugli elementi dell'insieme quoziente. suggerimenti al riguardo?
Allora primo punto: il tuo insieme di partenza è $RR^2-{(0,0)}$ quindi il punto $(0,0)$ è escluso dal tuo dominio, e perciò non può far parte di nessuna classe.
per quel che riguarda la struttura dell'insieme quoziente, visto che ogni classe è una retta passante per l'origine, il loro insieme sarà un fascio di rette passante per l'origine, hai ragione.
con una circonferenza centrata nell'origine pensavo di rappresentare un insieme in cui c'è uno e un solo rappresentante per ogni classe.
non devi porre nessuna condizione sugli elementi dell'insieme quoziente, li hai trovati! sono appunto le rette passanti per $(0,0)$ escluso $(0,0)$.
per quel che riguarda la struttura dell'insieme quoziente, visto che ogni classe è una retta passante per l'origine, il loro insieme sarà un fascio di rette passante per l'origine, hai ragione.
con una circonferenza centrata nell'origine pensavo di rappresentare un insieme in cui c'è uno e un solo rappresentante per ogni classe.
non devi porre nessuna condizione sugli elementi dell'insieme quoziente, li hai trovati! sono appunto le rette passanti per $(0,0)$ escluso $(0,0)$.
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