Insiemi numerabili e finiti
mi date una mano con le seguenti dimostrazioni. Come posso provare che:
1) L'unione di un insieme numerabile ed uno finito è numerabile
2)l'unione di un numero finito di insiemi numerabili da luogo a un insieme numerabile
3) l'unione di un'infinità numerabile di insiemi numerabili è un insieme numerabile
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Admin
Insiemi
1) L'unione di un insieme numerabile ed uno finito è numerabile
2)l'unione di un numero finito di insiemi numerabili da luogo a un insieme numerabile
3) l'unione di un'infinità numerabile di insiemi numerabili è un insieme numerabile
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Admin
Insiemi
Risposte
Scusate, sono un nuovo arrivato. Mi ha colpito molto questa discussione. Mi potreste dire il problema da cui è nato tutto?
Ciao, innanzitutto benvenuto. Allora, il tutto nasce dalla dimostrazione del seguente teorema: "L'unione di una famiglia finita non vuota di insiemi numerabili è numerabile". In particolare, mi chiedevo se esiste una dimostrazione che tenga conto esplicitamente del caso in cui gli insiemi numerabili della famiglia non siano disgiunti. Ho provato a buttar giù qualcosa ma al momento sono ancora fuori strada. Comunque se vuoi farti un'idea generale della questione ti consiglio, se non l'hai già fatto, dare un'occhiata ai post precedenti.
Ma voi considerate $0 \in mathbb N$ ? E poi cosa intendete come "famiglia di insiemi"? Sono un po' autodidatta in Matematica.
riguardo alla prima domanda si io considero $0\inN$, invece per la seconda domanda ti rimando all'ultimo posto della pagina 2 in cui spiego cosa intendo per famiglia di insiemi. Comunque, anche io sono un autodidatta 
Domanda che mi è venuta ora: può essere utile considerare il fatto che "eliminare" un elemento da un insieme numerabile non cambia la sua cardinalità?
Una famiglia di insiemi è un insieme che ha per elementi degli insiemi. Vero?
si per famiglia di insiemi, io intendo ciò.
Se per cardinalità di un insieme intendi il suo numero di elementi: se l'insieme è finito e contiene $n$ elementi, l'insieme privato di un suo elemento possiede $n-1$ elementi.
no parlo di insiemi numerabili, e quindi di insiemi infiniti.
Un insieme finito è numerabile.
"axpgn":.
Un insieme finito è numerabile.
Su questo ho qualche dubbio, in quanto dire che un insieme finito è numerabile, significa che può essere messo in corrispondenza biunivoca con $N$. Invece si sa che un insieme si dice finito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con $I_n$. Infine, dire che un insieme finito è numerabile equivale a dire che ha numero cardinale pari a $N_0$, maquesto non è corretto in quanto per un insieme finito, dicicamo $X$, di $n$ elementi vale $card(X)=n$ e non $N_0$ che è la cardinalità del numerabile.
Tuttavia è questione di come si definiscono le cose. Poichè, se un insieme viene definito numerabile se è finito o s puo essere messo in corrispondenza biunivoca con $n$, allora si, un insieme finito è numerabile
Volevo portare alla vostra attenzione questa cosa: inanzitutto (correggetemi se sbaglio) io dico che un insieme $A$ è numerabile se e solo se esiste almeno una funzione $lambda : mathbb N \rightarrow A$ che sia biunivoca ($A$ è infinito essendo in corrispondenza biunivoca con $mathbb N$). Ora utilizzando i concetti di successione (che è una funzione da $mathbb N$ a un insieme nel quale scelgo i termini della successione), posso dire che un insieme $A$ è numerabile se e solo se esiste almeno una successione con termini in $A$ che sia biunivoca. Se quindi considero la successione $x_0;x_1;x_2;...;x_k;...$ con termini in $A$ e togliessi dalla successione il termine $x_k$ avrò una nuova successione $y_0;y_1;y_2;...;y_k;...$, dove $\forall m \leq k-1, y_m=x_m$ e $\forall n \geq k+1, y_k=x_{k+1}$: quest'ultima successione a termini in $A-{x_k}$ è biunivoca, ovvero per quanto detto prima $A-{x_k}$ è numerabile ed è posto in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali. $A$ e $A-{x_k}$ hanno la stessa cardinalità. Come è possibile?
Scusate se scrivo delle affermazioni (che conoscerete) ma vorei confrontarmi con voi in quanto è la prima volta che ho modo di esporre a altri le mie "ricerche"(non avendo modo di appoggiarmi ad alcun testo).
"Lo vedo ma non ci credo."(Cantor)
Scusate se scrivo delle affermazioni (che conoscerete) ma vorei confrontarmi con voi in quanto è la prima volta che ho modo di esporre a altri le mie "ricerche"(non avendo modo di appoggiarmi ad alcun testo).
"Lo vedo ma non ci credo."(Cantor)
non devi scusarti, siamo qui proprio per confrontarci e aiutarci, a mio parere.
tornando al tuo dubbio: quindi reputi strano anche il fatto che, ad esempio, $N$ e l'insieme dei numeri naturali pari, $P$ abbiano la stessa cardinalità?
tornando al tuo dubbio: quindi reputi strano anche il fatto che, ad esempio, $N$ e l'insieme dei numeri naturali pari, $P$ abbiano la stessa cardinalità?
La definizione di "numerabile" che ho sempre sentito è che "o è finito o può essere messo in corrispondenza biunivoca con $NN$", per esempio qui (non che Wikipedia faccia testo, anzi ..., però essendo una definizione è importante assicurarsi che anche gli altri condividano la nostra).
Forse sarebbe stato meglio dire "insieme numerabile infinito" ...
Cordialmente, Alex
Forse sarebbe stato meglio dire "insieme numerabile infinito" ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
La definizione di "numerabile" che ho sempre sentito è che "o è finito o è può essere messo in corrispondenza biunivoca con $NN$", per esempio qui (non che Wikipedia faccia testo, anzi ..., però essendo una definizione è importante assicurarsi che anche gli altri condividano la nostra).
Forse sarebbe stato meglio dire "insieme numerabile infinito" ...
Cordialmente, Alex
ahahahahaha perfetto!!! l'importante è mettersi d'accordo
"Indrjo Dedej":
$A$ e $A-{x_k}$ hanno la stessa cardinalità. Come è possibile?
Comunque, per risponderti, è possibile perchè esiste un teorema che dice che ogni insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria.
Però il dubbio mio è che ho fatto questo ragionamento: ho preso un insieme vuoto e un insieme unitario ${x_0}$. Tra questi due insiemi non ci può essere una corrispondenza biunivoca poichè uno dei due insiemi è vuoto. Il passo successivo è di considerare gli insiemi $ emptyset \cup {x_1}={x_1}$ e ${x_0} \cup {x_1}$: neanche in questo caso esiste una corrispondenza biunivoca tra questi due insiemi. Iterando all'infinito questo procedimento(aggiungere di volta in volta un elemento a entrambi gli insiemi) non esisterà una corrispondenza biunivoca in quanto un insieme conterrà un elemento in più rispetto all'altro...(Gli elementi sono tutti distinti tra loro.)
"Indrjo Dedej":
Però il dubbio mio è che ho fatto questo ragionamento: ho preso un insieme vuoto e un insieme unitario ${x_0}$. Tra questi due insiemi non ci può essere una corrispondenza biunivoca poichè uno dei due insiemi è vuoto. Il passo successivo è di considerare gli insiemi $ emptyset \cup {x_1}={x_1}$ e ${x_0} \cup {x_1}$: neanche in questo caso esiste una corrispondenza biunivoca tra questi due insiemi. Iterando all'infinito questo procedimento(aggiungere di volta in volta un elemento a entrambi gli insiemi) non esisterà una corrispondenza biunivoca in quanto un insieme conterrà un elemento in più rispetto all'altro...
Allora, si ho capito il ragionamento che hai fatto, vediamo se riesco ad esprimermi. Secondo me, ma è un mio umilissimo parere, il tuo dubbio rimane perchè il procedimento che utilizzi è in un certo senso un ragionamento "finito" (non riesco ad esprimermi meglio). Cioè portando all'infinito i due insiemi arriverai a un punto in cui non ha più senso dire che un insieme contiene un elemento in più rispetto all'altro in quanto appunto in due insiemi sono diventati infiniti. Poi il fatto che siano numerabili entrambi riesci a metterli in corrispondenza biunivoca. Non so....queste sono riflessioni informali che mi sono venute riflettendo sul tuo ragionamento.
Io ho definito i numeri naturali a partire da quel ragionamento. Andando come hai detto tu, un numero naturale a un "certo punto all'infinito" è uguale al suo successivo. Assurdo.
Prima di proseguire mettiamoci un attimo d'accordo sulle notazioni, perché la domanda di Indrjo Dedej a proposito dell'appartenenza di \( 0 \) a \( \mathbb{N} \) mi ha fatto notare che ognuno di noi ha usato le notazioni a modo proprio: io per esempio ho usato \( \mathbb{N}_{0} \) per indicare i naturali compreso lo \( 0 \), adaBTTLS ha usato a suo tempo \( \mathbb{N} \) per indicare i naturali senza lo \( 0 \) e 17re87 ha usato \( \mathbb{N} \) per indicare i naturali compreso lo \( 0 \). È una questione di poco conto ai fini della discussione (infatti l'insieme dei numeri naturali compreso lo \( 0 \) è equipotente all'insieme dei numeri naturali senza lo \( 0 \)) tuttavia è meglio mettersi d'accordo.
Conveniamo quindi che:
• \( \mathbb{N} \) è l'insieme dei numeri naturali e \( 0 \in \mathbb{N} \);
• \( \mathbb{N}^{+} \) è l'insieme dei numeri naturali senza lo \( 0 \), i.e. \( \mathbb{N}^{+} := \mathbb{N} \setminus \left \{ 0 \right \} \).
Ciò detto veniamo alla questione della famiglia di insiemi.
In una teoria ingenua degli insiemi la locuzione "famiglia di insiemi" (così come le locuzioni "collezione di insiemi" e "classe di insiemi") serve a sostituire la locuzione "insieme di insiemi" per ragioni di cacofonia e non ha dunque alcun significato speciale: designa semplicemente un insieme (la famiglia) che per elementi degli altri insiemi.
In quest'ottica la definizione dell'unione insiemistica principia con la definizione dell'unione di due insiemi (i.e. \( S \cup T := \left \{ x \mid x \in S \lor x \in T \right \} \)) e si estende poi ad una quantità generica di insiemi usando per l'appunto le famiglie di insiemi, per le quali l'unione è definita così come ha fatto 17re87:
\[
\bigcup_{X \in \mathcal{F}} X := \left \{ x \mid \exists X \in \mathcal{F} : x \in X \right \}
\]
Questa definizione quindi va bene. Anzi: va benissimo. Perché, in verità, in una teoria assiomatica quella che ingenuamente è presentata come l'estensione dell'unione ad una famiglia di insiemi è essa stessa la definizione dell'unione. Infatti in una teoria assiomatica degli insiemi non vi è alcuna distinzione tra il concetto di insieme ed il concetto di elemento di un insieme: l'unico ente che si ha a disposizione in una teoria assiomatica è l'insieme, sicché dato un insieme \( S \), se \( x \) è un elemento di \( S \), anche \( x \) è in verità un insieme e la locuzione "\( x \) è un elemento di \( S \)" sta solo a significare che la formula "\(x \in S \)" è vera. Ne segue allora che dato un qualunque insieme \( S \) quelli che sono i suoi elementi sono essi stessi degli insiemi e allora è ragionevole formulare (per mezzo di un assioma) la definizione dell'unione direttamente su \( S \), cioè su ciò che ingenuamente era stato presentato come "famiglia di insiemi", e ricavare poi l'unione di due soli insiemi come caso particolare, i.e. come l'unione su un insieme \( S \) avente due soli insiemi \( A \) e \( B \) come elementi. L'unione servirà poi, in una teoria assiomatica, a costruire l'intersezione.
Occorre però fare attenzione ad una cosa. In una teoria assiomatica non avendo alcun senso distinguere tra una famiglia di insiemi ed un singolo insieme, la locuzione famiglia di insiemi assume in significato molto preciso. Una famiglia di elementi di un dato insieme \( X \) consiste nel dato di un insieme \( I \) detto insieme degli indici, l'insieme \( X \) dal quale si estraggono gli elementi della famiglia ed un'applicazione \( x \colon I \to X \), sicché una famiglia di elementi di \( X \) è la sequenza delle immagini \( x(i) \) al variare di \( i \in I \), i.e. una famiglia di elementi di \( X \) è l'immagine dell'applicazione \( x \), e si parla più correttamente di famiglia di elementi di \( X \) indicizzata da \( I \). Quando non si fanno ipotesi particolari sugli elementi di \( X \), questi sono insiemi (in una teoria assiomatica qualunque sia \( X \) i suoi elementi sono sempre insiemi) e allora si ha una famiglia di insiemi indicizzata da \( I \).
Il concetto di famiglia indicizzata si ritrova anche in una teoria ingenua solo che, mentre in una teoria assiomatica dire famiglia di insiemi e famiglia indicizzata di insiemi spesso significa dire la stessa cosa, in una teoria ingenua no ed occorre fare attenzione a quale dei due significati si sta usando.
È importante questo fatto perché:
• una famiglia di elementi di \( X \) indicizzata da \( \mathbb{N} \) è chiamata successione di elementi di \( X \) (non perché i concetti coincidono ma perché tanto in una teoria assiomatica quanto in una ingenua questa è -o dovrebbe essere - proprio la definizione di successione);
• una famiglia di elementi di \( X \) indicizzata da \( \left \{ 1, 2, 3, \ldots, n \right \} \) è una \( n \)-upla ordinata di elementi di \( X \) (non perché i concetti coincidono ma perché tanto in una teoria assiomatica quanto in una teoria ingenua questa è - o dovrebbe essere - proprio la definizione di \( n \)-upla[nota]Ovviamente per \( n \geq 3 \): il concetto di coppia ordinata va definito preliminarmente (secondo Kuratowski) perché senza il concetto di coppia ordinata non si possono costruire le corrispondenze e quindi le applicazioni.[/nota]);
• mentre in una famiglia di insiemi ingenuamente intesa non ci sono insiemi che si ripetono (infatti si conviene che gli insiemi \( \left \{ a, b, c \right \} \) e \( \left \{ a, a, b, c, c, c \right \} \) siano lo stesso insieme, anche quando \(a, b, c \) sono a loro volta insiemi) in una famiglia di insiemi indicizzata da \( I \) possono esserci insiemi che si ripetono (infatti una famiglia indicizzata è l'immagine di un'applicazione e nulla vieta ad un'applicazione di non essere iniettiva);
• la famiglia indicizzata permette di modificare la definizione dell'unione usando l'insieme degli indici:
\[
\bigcup_{i \in I} X_{i} := \left \{ x \mid \exists i \in I: x \in X_{i} \right \}
\]
Conveniamo quindi che:
• \( \mathbb{N} \) è l'insieme dei numeri naturali e \( 0 \in \mathbb{N} \);
• \( \mathbb{N}^{+} \) è l'insieme dei numeri naturali senza lo \( 0 \), i.e. \( \mathbb{N}^{+} := \mathbb{N} \setminus \left \{ 0 \right \} \).
Ciò detto veniamo alla questione della famiglia di insiemi.
In una teoria ingenua degli insiemi la locuzione "famiglia di insiemi" (così come le locuzioni "collezione di insiemi" e "classe di insiemi") serve a sostituire la locuzione "insieme di insiemi" per ragioni di cacofonia e non ha dunque alcun significato speciale: designa semplicemente un insieme (la famiglia) che per elementi degli altri insiemi.
In quest'ottica la definizione dell'unione insiemistica principia con la definizione dell'unione di due insiemi (i.e. \( S \cup T := \left \{ x \mid x \in S \lor x \in T \right \} \)) e si estende poi ad una quantità generica di insiemi usando per l'appunto le famiglie di insiemi, per le quali l'unione è definita così come ha fatto 17re87:
\[
\bigcup_{X \in \mathcal{F}} X := \left \{ x \mid \exists X \in \mathcal{F} : x \in X \right \}
\]
Questa definizione quindi va bene. Anzi: va benissimo. Perché, in verità, in una teoria assiomatica quella che ingenuamente è presentata come l'estensione dell'unione ad una famiglia di insiemi è essa stessa la definizione dell'unione. Infatti in una teoria assiomatica degli insiemi non vi è alcuna distinzione tra il concetto di insieme ed il concetto di elemento di un insieme: l'unico ente che si ha a disposizione in una teoria assiomatica è l'insieme, sicché dato un insieme \( S \), se \( x \) è un elemento di \( S \), anche \( x \) è in verità un insieme e la locuzione "\( x \) è un elemento di \( S \)" sta solo a significare che la formula "\(x \in S \)" è vera. Ne segue allora che dato un qualunque insieme \( S \) quelli che sono i suoi elementi sono essi stessi degli insiemi e allora è ragionevole formulare (per mezzo di un assioma) la definizione dell'unione direttamente su \( S \), cioè su ciò che ingenuamente era stato presentato come "famiglia di insiemi", e ricavare poi l'unione di due soli insiemi come caso particolare, i.e. come l'unione su un insieme \( S \) avente due soli insiemi \( A \) e \( B \) come elementi. L'unione servirà poi, in una teoria assiomatica, a costruire l'intersezione.
Occorre però fare attenzione ad una cosa. In una teoria assiomatica non avendo alcun senso distinguere tra una famiglia di insiemi ed un singolo insieme, la locuzione famiglia di insiemi assume in significato molto preciso. Una famiglia di elementi di un dato insieme \( X \) consiste nel dato di un insieme \( I \) detto insieme degli indici, l'insieme \( X \) dal quale si estraggono gli elementi della famiglia ed un'applicazione \( x \colon I \to X \), sicché una famiglia di elementi di \( X \) è la sequenza delle immagini \( x(i) \) al variare di \( i \in I \), i.e. una famiglia di elementi di \( X \) è l'immagine dell'applicazione \( x \), e si parla più correttamente di famiglia di elementi di \( X \) indicizzata da \( I \). Quando non si fanno ipotesi particolari sugli elementi di \( X \), questi sono insiemi (in una teoria assiomatica qualunque sia \( X \) i suoi elementi sono sempre insiemi) e allora si ha una famiglia di insiemi indicizzata da \( I \).
Il concetto di famiglia indicizzata si ritrova anche in una teoria ingenua solo che, mentre in una teoria assiomatica dire famiglia di insiemi e famiglia indicizzata di insiemi spesso significa dire la stessa cosa, in una teoria ingenua no ed occorre fare attenzione a quale dei due significati si sta usando.
È importante questo fatto perché:
• una famiglia di elementi di \( X \) indicizzata da \( \mathbb{N} \) è chiamata successione di elementi di \( X \) (non perché i concetti coincidono ma perché tanto in una teoria assiomatica quanto in una ingenua questa è -o dovrebbe essere - proprio la definizione di successione);
• una famiglia di elementi di \( X \) indicizzata da \( \left \{ 1, 2, 3, \ldots, n \right \} \) è una \( n \)-upla ordinata di elementi di \( X \) (non perché i concetti coincidono ma perché tanto in una teoria assiomatica quanto in una teoria ingenua questa è - o dovrebbe essere - proprio la definizione di \( n \)-upla[nota]Ovviamente per \( n \geq 3 \): il concetto di coppia ordinata va definito preliminarmente (secondo Kuratowski) perché senza il concetto di coppia ordinata non si possono costruire le corrispondenze e quindi le applicazioni.[/nota]);
• mentre in una famiglia di insiemi ingenuamente intesa non ci sono insiemi che si ripetono (infatti si conviene che gli insiemi \( \left \{ a, b, c \right \} \) e \( \left \{ a, a, b, c, c, c \right \} \) siano lo stesso insieme, anche quando \(a, b, c \) sono a loro volta insiemi) in una famiglia di insiemi indicizzata da \( I \) possono esserci insiemi che si ripetono (infatti una famiglia indicizzata è l'immagine di un'applicazione e nulla vieta ad un'applicazione di non essere iniettiva);
• la famiglia indicizzata permette di modificare la definizione dell'unione usando l'insieme degli indici:
\[
\bigcup_{i \in I} X_{i} := \left \{ x \mid \exists i \in I: x \in X_{i} \right \}
\]
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