Insiemi limitati e estremi

Frink1

19 feb 2014, 19:30

Il teorema dell'estremo superiore dimostra proprio questa proprietà

(Segue dall'assioma di completezza)

gugo82

20 feb 2014, 11:10

"DR1":
Un insieme limitato superiormente/inferiormente ha sempre un estremo superiore/inferiore ?

In quale tipo di struttura?

In generale, comunque, no.
Prendi $\mathbb{Q}$ dotato dell'ordine e delle operazioni solite; allora la parte $A:=\{x\in \mathbb{Q}:\ x^2<2\}$, pur essendo limitata, non ha né estremo superiore né estremo inferiore.

DR1

20 feb 2014, 11:42

$ A sube RR $In una struttura del tipo $A sube RR$
vale, sempre, la seguente affermazione:
se $A$ è superiormente limitato, allora ha un estremo superiore.

vict85

20 feb 2014, 12:00

Essere limitato vuol dire che c'è un maggiorante (minorante) che è diverso da avere un massimo (minimo).

DR1

20 feb 2014, 12:46

Non ho nominato massimo e minimo, che sono diversi da estremo superiore/inferiore.

"DR1":
$ A sube RR $In una struttura del tipo $ A sube RR $
vale, sempre, la seguente affermazione:
se $ A $ è superiormente limitato, allora ha un estremo superiore.

Quindi ?

Frink1

20 feb 2014, 14:06

"Frink":
Il teorema dell'estremo superiore dimostra proprio questa proprietà

(Segue dall'assioma di completezza)

So di ripetermi, ma questo vale per $ RR $ e i suoi sottoinsiemi.

gugo82

20 feb 2014, 14:35

"DR1":
Non ho nominato massimo e minimo, che sono diversi da estremo superiore/inferiore.
[quote="DR1"]$ A sube RR $In una struttura del tipo $ A sube RR $
vale, sempre, la seguente affermazione:
se $ A $ è superiormente limitato, allora ha un estremo superiore.

Quindi ?[/quote]
In $\mathbb{R}$ (dotato dell'ordine naturale), ciò é vero. Infatti, la proprietà di completezza (rispetto all'ordine naturale):

Ogni sottoinsieme $A$ non vuoto e limitato superiormente ha estremo superiore.

o si assume come assioma del campo reale (assioma di completezza) oppure si dimostra usando la costruzione di $\mathbb{R}$ fatta a partire dai razionali.
Da essa, usando le proprietà di anello ordinato, segue che:

Ogni sottoinsieme $A$ non vuoto e limitato inferiormente ha estremo inferiore.

quindi, in generale, ogni sottoinsieme limitato di $\mathbb{R}$ ha entrambi estremo inferiore e superiore.

In strutture generali, i.e. in un generico anello ordinato $(X,+,\cdot,\leq)$, la proprietà di completezza di cui sopra non è sempre vera ed è indipendente dalle altre proprietà dell'ordine; pertanto, essa può essere presa come proprietà che distingue certi anelli ordinati da altri. In particolare, gli anelli ordinati che soddisfano la proprietà di completezza vengono detti anelli ordinati completi.
Ad esempio, $\mathbb{Q}$ ed $\mathbb{R}$ sono entrambi anelli ordinati con le solite operazioni ed il solito ordine, però $\mathbb{R}$ è completo e $\mathbb{Q}$ non lo è.

DR1

20 feb 2014, 16:06

Quindi

"DR1":
Un insieme limitato superiormente/inferiormente ha sempre un estremo superiore/inferiore ?

E' vero solo se si considera tutto $RR$ e non solo un suo sottoinsieme ?

gugo82

21 feb 2014, 19:05

"DR1":
Quindi
[quote="DR1"]Un insieme limitato superiormente/inferiormente ha sempre un estremo superiore/inferiore ?

E' vero solo se si considera tutto $RR$ e non solo un suo sottoinsieme ?[/quote]
Chiarisco una cosa: nei post che ho scritto prima c'è scritto che $\mathbb{Q}$ è considerato con la sua propria struttura di anello ordinato, non come sottoanello di $\mathbb{R}$.

Quello di non capire che $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}$ è falso (o, se non falso, quantomeno formalmente scorretto, perché si tratta di un abuso di notazione) e che quei due insiemi hanno strutture algebriche differenti, anche se "connesse" (in un certo senso), è tipico di chi ha studiato solo la costruzione assiomatica dei reali ed ha definito gli altri sottoinsiemi numerici ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$) come parti proprie di $\mathbb{R}$.
In proposito alla questione della costruzione degli insiemi e delle relazioni tra essi, puoi vedere questo mio vecchio post sintetico (cui già ti ho rimandato una volta, parecchio tempo fa).

Ad ogni modo, è evidente che certe proprietà di strutture algebriche non si conservano quando si "restringe" la struttura.

Un esempio banale è l'esistenza dell'opposto: se prendo un numero positivo $m\in \mathbb{Z}$, è evidente che esso è dotato di opposto in $\mathbb{Z}$ (poiché infatti esiste $-m \in \mathbb{Z}$ tale che $m+(-m)=0$); d'altra parte, dato che $m$ è positivo, posso sempre pensare che $m\in \mathbb{N}$[nota]Anche se ciò non è vero, o meglio è un abuso! Infatti, dato che $\mathbb{N} \not\subseteq \mathbb{Z}$, è evidente che un elemento di $\mathbb{Z}$ non può stare in $\mathbb{N}$.[/nota] e però $m$ non è dotato di opposto in $\mathbb{N}$ (rozzamente, perché $-m$ è negativo).

Analogo discorso vale per la proprietà di completezza.
Anche se un insieme limitato $A\subseteq \mathbb{R}$ costituito da soli numeri razionali ha estremo superiore ed inferiore in $\mathbb{R}$, non è detto che tale insieme considerato come parte di $\mathbb{Q}$ abbia estremi inferiore e superiore in $\mathbb{Q}$.
L'esempio che ho fatto prima è indicativo: infatti, preso l'insieme:
\[
A:=\{x\in \mathbb{R}:\ x \text{ è razionale e } x^2<2\}\; ,
\]
esso ha estremi inferiore e superiore in $\mathbb{R}$, i quali sono, rispettivamente, $\inf A=-\sqrt{2}$ e $\sup A=\sqrt{2}$.
Tuttavia, pensando $A\subseteq \mathbb{Q}$, l'insieme $A$ non ha né estremo inferiore né estremo superiore in $\mathbb{Q}$: infatti, se per assurdo $A$ avesse estremo superiore in $\mathbb{Q}$, dovrebbe essere dotato di minimo l'insieme dei maggioranti di $A$ in $\mathbb{Q}$, che é:
\[
\mathcal{M}(A) := \{\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}:\ \frac{p}{q}>0 \text{ e } \frac{p^2}{q^2}\geq 2\}\; ;
\]
ma un eventuale minimo $\frac{P}{Q}$ di $\mathcal{M}(A)$ godrebbe della proprietà $\frac{P^2}{Q^2}=2$, il che (come universalmente noto) è assurdo; alla stessa maniera, se per assurdo $A$ avesse estremo inferiore in $\mathbb{Q}$, dovrebbe essere dotato di massimo l'insieme dei minoranti di $A$ in $\mathbb{Q}$, che é:
\[
\mathcal{L}(A) := \{\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}:\ \frac{m}{n}<0 \text{ e } \frac{m^2}{n^2}\geq 2\}\; ;
\]
ma un eventuale massimo $\frac{M}{N}$ di $\mathcal{L}(A)$ godrebbe della proprietà $\frac{M^2}{N^2}=2$, il che è assurdo.

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