Insiemi ben ordinati
ciao studiando il principio di zermelo che afferma che ogni insieme è ben ordinabile... mi sapete fare un esempio di buon ordine su $CC$...pensato come insieme e nessun'altra struttura messa sopra???
grazie..
grazie..
Risposte
"miuemia":
ciao studiando il principio di zermelo che afferma che ogni insieme è ben ordinabile... mi sapete fare un esempio di buon ordine su $CC$...pensato come insieme e nessun'altra struttura messa sopra???
grazie..
Caro Miuemia, il fatto che un insieme sia ben ordinabile non esclude che esibire concretamente un buon ordine sia difficile o addirittura impossibile.
Quindi finora sono stati esibiti solo ordini totali, mai buoni?
Mi sembra carino questo, ora: trovare un ordine totale su $CC$ tale che ogni suo sottoinsieme non vuoto abbia un sup.
Mi sembra carino questo, ora: trovare un ordine totale su $CC$ tale che ogni suo sottoinsieme non vuoto abbia un sup.
"TomSawyer":
Quindi finora sono stati esibiti solo ordini totali, mai buoni?
Questo veramente non lo so!
"TomSawyer":
Il problema di miuemia e' equivalente a quello di trovare un ordine totale con la caratteristica dell'inf per ogni sottoinsieme di $CC$, esercizio difficilissimo, quasi impossibile, come si e' detto.
Scusami, non ho capito bene...
"TomSawyer":
Mi sembra carino questo, ora: trovare un ordine totale su $CC$ tale che ogni suo sottoinsieme non vuoto abbia un sup.
Questo e' facile: $CC$ e' equipotente a $RR$, e quindi data una biezione $\phi : RR \rightarrow CC$ basta porre $\phi(x) < \phi(y) \iff x < y$...
E come definiresti la biezione?
"TomSawyer":
E come definiresti la biezione?
E questo e' un po' piu' difficile...
Gia', era questo il problema 
. E' molto interessante, ma decisamente fuori dalla mia portata.
. E' molto interessante, ma decisamente fuori dalla mia portata.
Molto interessante. Se esistesse una biettivita' definibile costruttivamente fra $RR$ e $RR\times RR$, da qualche parte dovrei averla letta: nei miei libri di certo non ve n'e' traccia.
Un'altra cosa interessante e' che nessuno ha dimostrato se in ZF (senza AC) si puo' dimostrare l'esistenza di un buon ordine su $RR$. (fonte: "Basic set theory", Levy). Fiqo
Un'altra cosa interessante e' che nessuno ha dimostrato se in ZF (senza AC) si puo' dimostrare l'esistenza di un buon ordine su $RR$. (fonte: "Basic set theory", Levy). Fiqo
E se non erro Feferman ha dimostrato nel '65 che non e' possibile in ZFC definire un buon ordine su $RR$.
Giusto Sandokan!
Io ho trovato un buon ordine su $RR$ utilizzando successioni di potenze di frazione nelle classi contigue che definiscono i numeri reali, ma ha un difetto, se funziona con la classe contigua dei razionali superiori non funziona con quella dei razionali inferiori e viceversa, immaginate il macello se tentassi di estenderla a $CC$?
Io ho trovato un buon ordine su $RR$ utilizzando successioni di potenze di frazione nelle classi contigue che definiscono i numeri reali, ma ha un difetto, se funziona con la classe contigua dei razionali superiori non funziona con quella dei razionali inferiori e viceversa, immaginate il macello se tentassi di estenderla a $CC$?
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