Insiemi: assiomi di esistenza
Mi sono incartata su un passo di un libro di algebra... qualcuno ha voglia di darmi una mano?
(citazioni del libro in bold).
Nelle prime pagine l'autore introduce mediante assiomi l'esistenza di insiemi. Prima assume l'esistenza di $\Phi$, ${\Phi$} e così via, poi enuncia l'assioma di specificazione (dato un insieme X e una proprietà P, si pone l'esistenza di un insieme A formato dagli elementi di X dotati della proprietà P). A questo punto prosegue:
Attenzione! Sia X un insieme e sia P la proprietà di non appartenere a se stessi....
- Quindi si presume che sarà un insieme a possedere la proprietà P, perché la proprietà di appartenenza si riferisce agli insiemi... giusto?
- P quindi significa: "essere un insieme che non appartiene a se stesso come elemento?"
Dunque, per l'assioma di specificazione, esiste l'insieme $A ={x \in X : x \notin x} $ * ......Supponendo che $A \in A$ si ha che $ A \in X $ m pure che $ A \notin A $ : assurdo! Dunque $A \notin A $ ė quindi $A \notin $ X. Infatti: supponendo $ A \in X $ e $A \notin A $ si ottiene $ A \in A$: assurdo.
Qui ok, capito. Anche se... Per dimostrare l'assurdo avrei potuto dire come segue? (perché mi riesce più chiaro):
Supponiamo che A ha la proprietà P, quella di non appartenere a se stesso, ovvero $ A /notin A $. Ma allora A appartiene ad A per come è costruito A: assurdo. Viceversa, se A non appartiene ad A, non deve avere la proprietà P, quindi A appartiene ad A. Assurdo.
L'insieme X è completamente arbitrario e a partire da questo insieme abbiamo costruito un insieme A che non appartiene a a X.
Ecco, è qui che non mi è chiaro: io avevo capito che l'insieme A non si può costruire, perché abbiamo ottenuto un assurdo... invece dice "abbiamo costruito un insieme A...". Com'è A?
ciao
(citazioni del libro in bold).
Nelle prime pagine l'autore introduce mediante assiomi l'esistenza di insiemi. Prima assume l'esistenza di $\Phi$, ${\Phi$} e così via, poi enuncia l'assioma di specificazione (dato un insieme X e una proprietà P, si pone l'esistenza di un insieme A formato dagli elementi di X dotati della proprietà P). A questo punto prosegue:
Attenzione! Sia X un insieme e sia P la proprietà di non appartenere a se stessi....
- Quindi si presume che sarà un insieme a possedere la proprietà P, perché la proprietà di appartenenza si riferisce agli insiemi... giusto?
- P quindi significa: "essere un insieme che non appartiene a se stesso come elemento?"
Dunque, per l'assioma di specificazione, esiste l'insieme $A ={x \in X : x \notin x} $ * ......Supponendo che $A \in A$ si ha che $ A \in X $ m pure che $ A \notin A $ : assurdo! Dunque $A \notin A $ ė quindi $A \notin $ X. Infatti: supponendo $ A \in X $ e $A \notin A $ si ottiene $ A \in A$: assurdo.
Qui ok, capito. Anche se... Per dimostrare l'assurdo avrei potuto dire come segue? (perché mi riesce più chiaro):
Supponiamo che A ha la proprietà P, quella di non appartenere a se stesso, ovvero $ A /notin A $. Ma allora A appartiene ad A per come è costruito A: assurdo. Viceversa, se A non appartiene ad A, non deve avere la proprietà P, quindi A appartiene ad A. Assurdo.
L'insieme X è completamente arbitrario e a partire da questo insieme abbiamo costruito un insieme A che non appartiene a a X.
Ecco, è qui che non mi è chiaro: io avevo capito che l'insieme A non si può costruire, perché abbiamo ottenuto un assurdo... invece dice "abbiamo costruito un insieme A...". Com'è A?
ciao
Risposte
p.s. Ho l'impressione che sto leggendo male il testo: A forse non si riferisce all'insieme appena definito, ma a un insieme costruito con gli elementi di X e che non appartiene a X... ora però non ci capisco più un tubo. Magari richiedo domani a mente fresca.
Nella teoria assiomatica degli insiemi non si fa distinzione tra insieme ed elemento, nel senso che ogni elemento di un dato insieme è a sua volta un insieme, questo permette di risparmiarsi parecchie grane.
La dimostrazione che riporti fa uso dell'assioma di specificazione. Svolta come proponi tu, individuerebbe un inseme a partire da una proprietà, cosa non possibile dal momento che non esiste un insieme "universo", perciò è necessario ricorrere all'assioma di specificazione e definire un insieme a partire da una proprietà e da un insieme più grande all'interno del quale considerare gli elementi che la soddisfano (una sorta di insieme ambiente, nella fattispecie chiamato X).
L'insieme A è stato costruito: l'assioma di specificazione garantisce che se dai una definizione ben formulata di insieme, questo esiste. [strike]L'insieme costruito in questo modo non ha elementi, come dimostrato: se ne avesse si avrebbe un assurdo. Per l'assioma di specificazione A non ha elementi in X, il nostro "ambiente".[/strike] EDIT: grossa sciocchezza, chiedo scusa. Tu stai dimostrando che dato un qualunque insieme (il nostro X), ne esiste un altro non contenuto in esso, e cioè che non esiste l'insieme universo. La definizione dell'insieme vuoto qui non c'entra proprio, mi scuso ancora, non ho idea di cosa mi passasse per la testa.
L'arbitrarietà di X permette di non soffrire di quest'ultima necessità (quella di scegliere un ambiente), in quanto per generalizzazione si può concludere che essa valga per qualsiasi ambiente (scelto un X qualunque, la proprietà vale certamente), perciò si può concludere che [strike]A non ha elementi, in qualunque X sia esso definito, cioè A è l'insieme vuoto[/strike] EDIT: per ogni X esiste un A che non appartiene ad X. Di dimostrazioni per generalizzazione ne è piena la matematica, è bene capire come si svolgano e prendere confidenza con questo schema di dimostrazione; ti consiglio un buon testo di logica o di frequentare un corso di logica matematica sia se sei interessato agli schemi dimostrativi, sia se sei interessato alla teoria assiomatica degli insiemi.
La dimostrazione che riporti fa uso dell'assioma di specificazione. Svolta come proponi tu, individuerebbe un inseme a partire da una proprietà, cosa non possibile dal momento che non esiste un insieme "universo", perciò è necessario ricorrere all'assioma di specificazione e definire un insieme a partire da una proprietà e da un insieme più grande all'interno del quale considerare gli elementi che la soddisfano (una sorta di insieme ambiente, nella fattispecie chiamato X).
L'insieme A è stato costruito: l'assioma di specificazione garantisce che se dai una definizione ben formulata di insieme, questo esiste. [strike]L'insieme costruito in questo modo non ha elementi, come dimostrato: se ne avesse si avrebbe un assurdo. Per l'assioma di specificazione A non ha elementi in X, il nostro "ambiente".[/strike] EDIT: grossa sciocchezza, chiedo scusa. Tu stai dimostrando che dato un qualunque insieme (il nostro X), ne esiste un altro non contenuto in esso, e cioè che non esiste l'insieme universo. La definizione dell'insieme vuoto qui non c'entra proprio, mi scuso ancora, non ho idea di cosa mi passasse per la testa.
L'arbitrarietà di X permette di non soffrire di quest'ultima necessità (quella di scegliere un ambiente), in quanto per generalizzazione si può concludere che essa valga per qualsiasi ambiente (scelto un X qualunque, la proprietà vale certamente), perciò si può concludere che [strike]A non ha elementi, in qualunque X sia esso definito, cioè A è l'insieme vuoto[/strike] EDIT: per ogni X esiste un A che non appartiene ad X. Di dimostrazioni per generalizzazione ne è piena la matematica, è bene capire come si svolgano e prendere confidenza con questo schema di dimostrazione; ti consiglio un buon testo di logica o di frequentare un corso di logica matematica sia se sei interessato agli schemi dimostrativi, sia se sei interessato alla teoria assiomatica degli insiemi.
Epimenide, questa tua spiegazione me la ricopio negli appunti 
D'altra parte il nick non poteva tradirti 
In pratica devo immaginare di essere ai primordi della vita e costruire solo con i pochi elementi che ho assunto, senza presupporre quelli che conosco per senso comune.
L'unica domanda che mi viene ancora da fare è questa: abbiamo detto che A non ha elementi, altrimenti si cadrebbe in contraddizione. Se A non ha elementi, è l'insieme vuoto. Se è l'insieme vuoto, non contiene se stesso come elemento, quindi è contenuto in se stesso, per def di A, ma allora non è vuoto...
Forse però l'errore in questo ragionamento è che così do per scontato che A appartenga a X, e invece no....
D'altra parte il nick non poteva tradirti In pratica devo immaginare di essere ai primordi della vita e costruire solo con i pochi elementi che ho assunto, senza presupporre quelli che conosco per senso comune.
L'unica domanda che mi viene ancora da fare è questa: abbiamo detto che A non ha elementi, altrimenti si cadrebbe in contraddizione. Se A non ha elementi, è l'insieme vuoto. Se è l'insieme vuoto, non contiene se stesso come elemento, quindi è contenuto in se stesso, per def di A, ma allora non è vuoto...
Forse però l'errore in questo ragionamento è che così do per scontato che A appartenga a X, e invece no....
@Garnak: grazie!
@Epimenide: ci sono tornata di nuovo sopra e di nuovo dei dubbi...
Perchè no, se ho assunto l'assioma di specificazione?
Riportò come proseguiva il tuo discorso:
Comunque, in generale bisogna che mi legga qualcosa su quello che mi hai detto, se no entro inutilmente in loop con dei giochi di parole.
@Epimenide: ci sono tornata di nuovo sopra e di nuovo dei dubbi...
"Epimenide93":
La dimostrazione che riporti fa uso dell'assioma di specificazione. Svolta come proponi tu, individuerebbe un inseme a partire da una proprietà, cosa non possibile ...
Perchè no, se ho assunto l'assioma di specificazione?
Riportò come proseguiva il tuo discorso:
.... dal momento che non esiste un insieme "universo", perciò è necessario ricorrere all'assioma di specificazione e definire un insieme a partire da una proprietà e da un insieme più grande all'interno del quale considerare gli elementi che la soddisfano (una sorta di insieme ambiente, nella fattispecie chiamato X).
Comunque, in generale bisogna che mi legga qualcosa su quello che mi hai detto, se no entro inutilmente in loop con dei giochi di parole.
Altra domanda veloce: supponiamo che B sia un insieme che contiene se stesso come elemento, ma non contiene solo se stesso (es. l'insieme degli enti matematici). Allora $ B - B $ sarebbe diverso dall'insieme vuoto? Immagino che non posso usare operazioni insiemistiche come le userei comunemente, ma bisogna vedere se e come sono introdotte in base alla natura degli enti di cui stiamo parlando....
@jitter ho corretto il mio primo messaggio perché era sbagliato, ti chiedo scusa.
Non puoi definire, pur avendo l'assioma di specificazione, un insieme esclusivamente a partire da una proprietà, ti servono una proprietà ed un insieme più grande che contiene gli elementi tra i quali cercare quelli che verificano detta proprietà (e quindi appartengono all'insieme che stiamo definendo).
@garnak.olegovitc non vorrei andare OT ma francamente visto che sia ZFC che NBG sono estremamente potenti ed efficaci non vedo proprio perché imbarcarsi nella costruzione di una teoria alternativa.
Non puoi definire, pur avendo l'assioma di specificazione, un insieme esclusivamente a partire da una proprietà, ti servono una proprietà ed un insieme più grande che contiene gli elementi tra i quali cercare quelli che verificano detta proprietà (e quindi appartengono all'insieme che stiamo definendo).
@garnak.olegovitc non vorrei andare OT ma francamente visto che sia ZFC che NBG sono estremamente potenti ed efficaci non vedo proprio perché imbarcarsi nella costruzione di una teoria alternativa.
@Epimenide93,
pardon se non ho specificato le pagine precise dove si parla della questione sollevata da jitter, pensavo che non occorreva, di solito si legge il contenuto dei paragrafi e non solo i titoli... il fatto dell'antinomia sollevata da jitter è discussa a pg 2 con la costruzione dell'insieme del tipo \( \{X |X \in X \} \), e a pagina 6 con la costruzione dell'insieme del tipo \( \{X | X \in U \wedge X \in X \} \)...
spero di aver chiarito entro i limiti del topic le ragioni del link da me postato, ovviamente non solo per completezza!!
Saluti
P.S.=In tali pagine si adopera il sistema F e ZF(C)
"Epimenide93":
@jitter ho corretto il mio primo messaggio perché era sbagliato, ti chiedo scusa.
Non puoi definire, pur avendo l'assioma di specificazione, un insieme esclusivamente a partire da una proprietà, ti servono una proprietà ed un insieme più grande che contiene gli elementi tra i quali cercare quelli che verificano detta proprietà (e quindi appartengono all'insieme che stiamo definendo).
@garnak.olegovitc non vorrei andare OT ma francamente visto che sia ZFC che NBG sono estremamente potenti ed efficaci non vedo proprio perché imbarcarsi nella costruzione di una teoria alternativa.
pardon se non ho specificato le pagine precise dove si parla della questione sollevata da jitter, pensavo che non occorreva, di solito si legge il contenuto dei paragrafi e non solo i titoli... il fatto dell'antinomia sollevata da jitter è discussa a pg 2 con la costruzione dell'insieme del tipo \( \{X |X \in X \} \), e a pagina 6 con la costruzione dell'insieme del tipo \( \{X | X \in U \wedge X \in X \} \)...spero di aver chiarito entro i limiti del topic le ragioni del link da me postato, ovviamente non solo per completezza!!
Saluti
P.S.=In tali pagine si adopera il sistema F e ZF(C)
"jitter":
@Garnak: grazie!
figurati!!
@jitter quasi dimenticavo, un insieme non è mai elemento di se stesso, per l'assioma di regolarità (proprio per evitare il loop di cui sopra).
@garnak.olegovitc ho frainteso, ho visto che nel pdf si parla anche dei modelli più importanti, ma dato che più di metà documento parla di un modello alternativo pensavo stessi suggerendo di aggirare il problema non ragionando in ZFC.
@garnak.olegovitc ho frainteso, ho visto che nel pdf si parla anche dei modelli più importanti, ma dato che più di metà documento parla di un modello alternativo pensavo stessi suggerendo di aggirare il problema non ragionando in ZFC.
@Epimenide93,
purtroppo il titolo inganna..
ZF(C) è carino... ma di recente ho notato che è meglio NGB!! Ma come inizio ZFC va più che bene!! 
"Epimenide93":
@garnak.olegovitc ho frainteso, ho visto che nel pdf si parla anche dei modelli più importanti, ma dato che più di metà documento parla di un modello alternativo pensavo stessi suggerendo di aggirare il problema non ragionando in ZFC.
purtroppo il titolo inganna..
ZF(C) è carino... ma di recente ho notato che è meglio NGB!! Ma come inizio ZFC va più che bene!!
@Epimenide: mi aspettavo risposte "linguistiche", pedanti, invece mi stai dando spunti molto interessanti Anche se purtroppo ancora fatico a capire (*,)
Provo a riprendere il testo e commentarlo:
Attenzione! Sia X un insieme e sia P la proprietà di non appartenere a se stessi. [quindi qui l'autore non scrive "di non appartenere a se stessi come elementi" in virtù di quello che dice Epimenide nell'ultimo post, cioè che un insieme non è mai elemento di sé stesso, giusto? Ma allora in che senso si intende "non appartenere a se stesso? Appartenenza quindi non significa più "essere elemento"?]
Dunque, per l'assioma di specificazione, esiste l'insieme A={x∈X:x∉x} [eventualmente vuoto, ma non è detto] Supponendo che A∈A [qui non ho capito qual è la domanda che ci si stiamo ponendo: se A appartiene a se stesso? ] si ha che A∈X m pure che A∉A : assurdo! Dunque A∉A ė quindi A∉ X. Infatti: supponendo A∈X e A∉A si ottiene A∈A: assurdo.
Ora si è ottenuto l'assurdo: A non può né appartenere né non appartenere a sé stesso. Quindi, qual è l'ipotesi errata che abbiamo fatto? Aver definito A con quella proprietà? No, perché nel seguito dice "abbiamo costruito A". Ah, forse.... potrei dire così: X è concepibile, A no: quindi X non è fatto come A, cioè non è l'insieme di tutti gli insiemi, altrimenti dovrebbe contenere anche il famigerato A........ Mmmmm...
Ora le prendo...
Anche se purtroppo ancora fatico a capire (*,)Provo a riprendere il testo e commentarlo:
Attenzione! Sia X un insieme e sia P la proprietà di non appartenere a se stessi. [quindi qui l'autore non scrive "di non appartenere a se stessi come elementi" in virtù di quello che dice Epimenide nell'ultimo post, cioè che un insieme non è mai elemento di sé stesso, giusto? Ma allora in che senso si intende "non appartenere a se stesso? Appartenenza quindi non significa più "essere elemento"?]
Dunque, per l'assioma di specificazione, esiste l'insieme A={x∈X:x∉x} [eventualmente vuoto, ma non è detto] Supponendo che A∈A [qui non ho capito qual è la domanda che ci si stiamo ponendo: se A appartiene a se stesso? ] si ha che A∈X m pure che A∉A : assurdo! Dunque A∉A ė quindi A∉ X. Infatti: supponendo A∈X e A∉A si ottiene A∈A: assurdo.
Ora si è ottenuto l'assurdo: A non può né appartenere né non appartenere a sé stesso. Quindi, qual è l'ipotesi errata che abbiamo fatto? Aver definito A con quella proprietà? No, perché nel seguito dice "abbiamo costruito A". Ah, forse.... potrei dire così: X è concepibile, A no: quindi X non è fatto come A, cioè non è l'insieme di tutti gli insiemi, altrimenti dovrebbe contenere anche il famigerato A........ Mmmmm...
Ora le prendo...
@garnak.olegovitc concordo, dopo averla studiata dal Mendelson devo dire che ha dei punti di forza notevoli, vorrei avere il tempo di approfondirla.
@jitter allora, analizziamo un attimo la dimostrazione, da dove partiamo e dove vogliamo arrivare: Ipotesi: nessuna (cioè nessuna "particolare", si sottintende sempre che valgono gli assiomi della teoria, o per lo meno quelli introdotti finora dall'autore nella trattazione, certamente quello di specificazione a quanto vedo). Tesi: non esiste l'insieme di tutti gli insiemi. Dimostrazione: preso un X qualunque per l'assioma di specificazione esiste A, ma A non sta in X, X è un insieme arbitrario, dunque dato un insieme qualsiasi X ne esiste sempre almeno uno che non è contenuto in esso. La definizione di A è legittima, nessun insieme appartiene a se stesso come elemento (ma in ogni caso dubito che l'autore possa esporre nella trattazione l'assioma di regolarità prima di aver analizzato quel paradosso), a maggior ragione è legittimo esprimere la condizione $x\notinx$. Se non ti ci trovi, prova a costruirti un caso particolare e a verificare direttamente cosa succede. Un po' di confusione nasce dal fatto che non è una vera dimostrazione per assurdo, la dimostrazione fa leva su una contraddizione ma lo schema dimostrativo è una dimostrazione per generalizzazione, non abbiamo ipotesi da falsificare.
@jitter allora, analizziamo un attimo la dimostrazione, da dove partiamo e dove vogliamo arrivare: Ipotesi: nessuna (cioè nessuna "particolare", si sottintende sempre che valgono gli assiomi della teoria, o per lo meno quelli introdotti finora dall'autore nella trattazione, certamente quello di specificazione a quanto vedo). Tesi: non esiste l'insieme di tutti gli insiemi. Dimostrazione: preso un X qualunque per l'assioma di specificazione esiste A, ma A non sta in X, X è un insieme arbitrario, dunque dato un insieme qualsiasi X ne esiste sempre almeno uno che non è contenuto in esso. La definizione di A è legittima, nessun insieme appartiene a se stesso come elemento (ma in ogni caso dubito che l'autore possa esporre nella trattazione l'assioma di regolarità prima di aver analizzato quel paradosso), a maggior ragione è legittimo esprimere la condizione $x\notinx$. Se non ti ci trovi, prova a costruirti un caso particolare e a verificare direttamente cosa succede. Un po' di confusione nasce dal fatto che non è una vera dimostrazione per assurdo, la dimostrazione fa leva su una contraddizione ma lo schema dimostrativo è una dimostrazione per generalizzazione, non abbiamo ipotesi da falsificare.
"Epimenide93":
dunque dato un insieme qualsiasi X ne esiste sempre almeno uno che non è contenuto in esso. La definizione di A è legittima, nessun insieme appartiene a se stesso come elemento
Quando dici che A non sta in X, intendi come elemento, non come sottoinsieme, giusto? Perché per l'assioma di specificazione dobbiamo "prendere" in X gli elementi da "mettere" in A (cioè quelli che godono della proprietà P), quindi A sarà contenuto in X come sottoinsieme, ma non gli apparterrà come elemento. Anche se, per come è definito $ A = {x \in X : x\notin x}$, non si esclude a priori che un elemento x possa appartenere a se stesso. Quindi, per definizione, abbiamo costruito A, anche se non conosciamo i suoi eventuali elementi.
Ora ci chiediamo se A stesso può appartenere a se stesso. Otteniamo un assurdo, cioè non possiamo dire né che $A\in A$, né che $A \notin A$.
L'assurdo è dovuto al fatto che... mi dici però che non abbiamo hp da falsificare... Quindi.. boh. Meglio che mollo per un po' questo ragionamento perché prima mi devo abituare a questo approccio. Per esempio, dici che non si distingue tra insiemi ed elementi: questo non lo capisco e mi sembra essenziale.
Comunque grazie per la pazienza!
Se hai del materiale da consigliarmi su questa impostazione... quello di Garnak è un po' lungo, preferisco se possibile una cosa più snella perché non voglio soffermarmi troppo su questi aspetti.
Sì intendo come elemento. Ti faccio un esempio pratico per farti capire cosa succede. Diciamo che ho un insieme $X = {a, b, c, {a,b}, {a,d}}$, per come è definito $A$ avrei $A = {{a,b},{a,d}}$ e chiaramente questo è un insieme che non sta in $X$ (sta, tanto per dirne una, nel suo inseme delle parti). Stiamo astraendo questo ragionamento e applicandolo ad un $X$ generico, tutto qui.
L'assurdo lo otteniamo ipotizzando che $A$ stia in $X$, questo ci dice che $A$ non sta in $X$. Se vuoi considerala una sottoderivazione, svolta per assurdo.
Riguardo a insiemi ed elementi non si tratta di chissà che macchinazione, prendi ad esempio $B = {a, s, r}$ con $s = {1,2,3}$ allora ${1,2,3} \in B$ ma ${1,2,3}$ [tex]\not\subseteq B[/tex]; per quanto ne sappiamo anche $a$ ed $r$ possono essere a loro volta degli insiemi, e non ci sarebbe niente di strano se lo fossero, ma se non sappiamo come sono definiti di certo sappiamo che sono elementi di $B$ e tanto basta. Spero che l'esempio sia utile per capire il concetto.
Dubito ci siano testi molto brevi sull'argomento. Una lettura che ti consiglio è Naive Set Theory di Halmos, se riesci a trovarlo, penso sia uno dei testi migliori per schiarirsi le idee senza scendere negli aspetti più specialistici della teoria. Lo consiglio vivamente, è importante avere le idee chiare sugli aspetti principali della teoria degli insiemi per potersi muovere in tutta tranquillità nell'algebra.
L'assurdo lo otteniamo ipotizzando che $A$ stia in $X$, questo ci dice che $A$ non sta in $X$. Se vuoi considerala una sottoderivazione, svolta per assurdo.
Riguardo a insiemi ed elementi non si tratta di chissà che macchinazione, prendi ad esempio $B = {a, s, r}$ con $s = {1,2,3}$ allora ${1,2,3} \in B$ ma ${1,2,3}$ [tex]\not\subseteq B[/tex]; per quanto ne sappiamo anche $a$ ed $r$ possono essere a loro volta degli insiemi, e non ci sarebbe niente di strano se lo fossero, ma se non sappiamo come sono definiti di certo sappiamo che sono elementi di $B$ e tanto basta. Spero che l'esempio sia utile per capire il concetto.
Dubito ci siano testi molto brevi sull'argomento. Una lettura che ti consiglio è Naive Set Theory di Halmos, se riesci a trovarlo, penso sia uno dei testi migliori per schiarirsi le idee senza scendere negli aspetti più specialistici della teoria. Lo consiglio vivamente, è importante avere le idee chiare sugli aspetti principali della teoria degli insiemi per potersi muovere in tutta tranquillità nell'algebra.
"Epimenide93":
Riguardo a insiemi ed elementi non si tratta di chissà che macchinazione, prendi ad esempio B={a,s,r} con s={1,2,3} allora {1,2,3}∈B ma {1,2,3} ⊈B; per quanto ne sappiamo anche a ed r possono essere a loro volta degli insiemi, e non ci sarebbe niente di strano se lo fossero, ma se non sappiamo come sono definiti di certo sappiamo che sono elementi di B e tanto basta. Spero che l'esempio sia utile per capire il concetto.
Mi pare chiaro. Se ho capito, bene:
1) non esiste una distinzione tra insieme ed elemento, nel senso che l'oggetto in questione, diciamo l'"x minuscolo" di cui parliamo, può essere a sua volta indifferentemente un insieme oppure no, non importa (importante è usarlo coerentemente)
MA
2) esiste invece una distinzione tra "appartenere" ed "essere contenuto", e questa distinzione è la solita che conosciamo.
ciao
Esattamente, direi che ci siamo.
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