Insieme vuoto.

[anto_zoolander]

Ciao!

mi è sorto un dilemma.
Consideriamo un insieme non vuoto $A$, sappiamo che $emptyset subsetA$: qualsiasi sia l'insieme $A$.
Ha senso la scrittura $Asetminus emptyset$?

logicamente mi pare abbia senso poiché $forall x in A( x in A wedge xnotin emptyset)$ è vera e quindi si avrebbe praticamente $A=Asetminusemptyset$ ma quindi che significa sottrarre l'insieme vuoto se poi di fatto:

1. l'insieme vuoto si comporta come neutro per la sottrazione insiemistica.
2. l'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme, quindi non si può togliere.

[size=50]'sto insieme vuoto è brutto forte.[/size]

[fmnq]

Meno male che non hai chiesto quanto fa \(\emptyset\smallsetminus\emptyset\). Sarebbe stato difficile convincerti che fa \(\emptyset\).

Più seriamente, non appena \(A,B\subseteq X\) (ipotesi che non è restrittiva), si ha \(A\smallsetminus B := A\cap B^c\). Questo implica che \(A\smallsetminus \emptyset = A\cap X=A\).

[Studente Anonimo]

"anto_zoolander":non si può togliere

Il nulla non si può togliere? Certo che sì, solo che significa non fare niente logicamente è chiaro che $A-emptyset = A$ per ogni insieme $A$, perché la proposizione $x notin emptyset$ è sempre vera.

[anto_zoolander]

"fmnq":Meno male che non hai chiesto quanto fa \(\emptyset\smallsetminus\emptyset\). Sarebbe stato difficile convincerti che fa \(\emptyset\).

infatti sarebbe dovuta essere la domanda successiva

@fmnq,Martino
Infatti a livello formale c'ero, solo che a livello intuitivo forse ho fatto l'errore di pensare 'tolgo da $A$ l'insieme vuoto' quando invece è 'tolgo da $A$ gli elementi dell'insieme vuoto $equiv$ non tolgo da $A$ elementi'.

la domanda è nata da un errore di scrittura quando per non cancellare sul quaderno una frase ho scritto $Asetminus emptyset$ quando avrei dovuto scrivere $Asetminus{emptyset}$ ($A$ è una famiglia di insiemi cui $emptyset$ appartiene).

Ritengo che si faccia troppa poca teoria degli insiemi all'università

[Indrjo Dedej]

@anto, devi fare logica. Ti farà bene. Ma come si deve, eh. E noterai che queste situzioni sono naturali.

[fmnq]

"anto_zoolander":Ritengo che si faccia troppa poca teoria degli insiemi all'università

...fare logica, per poi accorgersi che questa frase va corretta in

Ritengo che si faccia troppa teoria degli insiemi all'università

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[anto_zoolander]

@indrjo
Si sono d’accordo, devo farla. Tu che a quanto ho capito hai cominciato a farla da un po’, con cosa hai iniziato? Io ho il libro di mendelson, ma non è molto friendly per una lettura serale.

@fmnq
Un altro categorista, scommetto

[Indrjo Dedej]

@fmnq,

Ritengo che si faccia troppa teoria degli insiemi all'università

questo è un punto di arrivo di un percorso lungo.

@anto,
Mendelson va bene per una introduzione. I primi capitoli sono buoni. Non ti chiedo di arrivare a Gödel, eh. Però allo studio affianca la pratica. Questa pratica: puoi provare a riprendere parti già studiate o esercizi già fatti, anche semplici. Smontali. Sotto corrono assunzioni, connettivi e quantificatori. Falli emergere. E studia i passi logici che fai. E interrogati, chiediti «Perché?». Perché senza questo ingrediente non c'è libro che tenga.

Tanto per esempio, ti faccio vedere quanto naturale è il fatto che \(\varnothing \setminus \varnothing = \varnothing\) ad uno che ha delle basi di logica, ma solide. È vero (perché?) \[\forall x \, \big( x \in \varnothing \Leftrightarrow x \in \varnothing \setminus \varnothing\big) \, .\] Quindi per l'assioma di estensionalità l'uguaglianza proposta.