Insieme quoziente modulo (relazioni di equivalenza)
Per prima cosa saluto e ringrazio (sono al primo post) gli utenti di questo utilissimo sito (già usato per l'esame di maturità).
Mi sto preparando per un esame di matematica discreta e sono incappato in una tipologia di esercizio che non riesco a capire come risolvere.
Mi viene richiesto di calcolare la cardinalità dell'insieme quoziente:
$ ZZ ^2/cc(R) $
Dove $cc(R)$ è definito come segue:
$ <(x,y)cc(R)(x',y')> hArr <(3x+5y=3x'+5y'> $
Io non ho proprio idea di come procedere per questa relazione in particolare. Per esempio, se la stessa domanda riguardasse un insieme quoziente:
$ NN /cc(R) $
e una relazione di equivalenza cosi formata (con mod 7 intendo una equivalenza modulo 7):
$ xcc(R) y hArr x -=(mod 7) y $
In quest'ultimo caso alla richiesta della cardinalità dell'insieme quoziente notiamo che ci sono 7 classi di equivalenza: [0],[1],...[6], quindi la cardinalità dell'insieme è proprio 7.
Sono io che non ho capito in generale la definizione di insieme quoziente o in quest ultimo caso ho agito correttamente?
Grazie per l'aiuto....
Mi sto preparando per un esame di matematica discreta e sono incappato in una tipologia di esercizio che non riesco a capire come risolvere.
Mi viene richiesto di calcolare la cardinalità dell'insieme quoziente:
$ ZZ ^2/cc(R) $
Dove $cc(R)$ è definito come segue:
$ <(x,y)cc(R)(x',y')> hArr <(3x+5y=3x'+5y'> $
Io non ho proprio idea di come procedere per questa relazione in particolare. Per esempio, se la stessa domanda riguardasse un insieme quoziente:
$ NN /cc(R) $
e una relazione di equivalenza cosi formata (con mod 7 intendo una equivalenza modulo 7):
$ xcc(R) y hArr x -=(mod 7) y $
In quest'ultimo caso alla richiesta della cardinalità dell'insieme quoziente notiamo che ci sono 7 classi di equivalenza: [0],[1],...[6], quindi la cardinalità dell'insieme è proprio 7.
Sono io che non ho capito in generale la definizione di insieme quoziente o in quest ultimo caso ho agito correttamente?
Grazie per l'aiuto....
Risposte
sì hai capito cos'è un insieme quoziente credo 
io per risolvere l'esercizio in questione cercherei di partire da qualche esempio:
cerca la classe di $(0,0)$, o di $(1,0)$, così da capire il meccanismo.
poi il consiglio è: per stabilire se due elementi di $ZZ_(/2)$ stanno nella stessa classe di equivalenza, devi vedere quando:
$(x,y)R(x',y')$ se, dette $h=x'-x$ e $k=y'-y$
si ha $3x+5y=3(x+h)+5(y+k)$
cerca di continuare.
io per risolvere l'esercizio in questione cercherei di partire da qualche esempio:
cerca la classe di $(0,0)$, o di $(1,0)$, così da capire il meccanismo.
poi il consiglio è: per stabilire se due elementi di $ZZ_(/2)$ stanno nella stessa classe di equivalenza, devi vedere quando:
$(x,y)R(x',y')$ se, dette $h=x'-x$ e $k=y'-y$
si ha $3x+5y=3(x+h)+5(y+k)$
cerca di continuare.
La classe di (0,0) è quella per cui $3x+5y=0$
Invece la classe di (0,1) è quella per cui $3x+5y=5$
Quindi la classe di (0,0) è quella per cui
$x=5t$
$y=-3t$
$AAtx in NN$
Giusto?
Non capisco però quale possa essere il passo successivo per determinare la cardinalità.
Invece la classe di (0,1) è quella per cui $3x+5y=5$
Quindi la classe di (0,0) è quella per cui
$x=5t$
$y=-3t$
$AAtx in NN$
Giusto?
Non capisco però quale possa essere il passo successivo per determinare la cardinalità.
Ok credo di aver capito. In questo caso per calcolare la cardinalita dell'insieme quoziente ragionerei come segue.
$3x+5y=t$ e per ogni classe di equivalenza abbiamo un t differente che puo assumere tutti i valori in Z. Quindi la cardinalità dell'insieme quoziente è Z, e la cardinalità delle varie classi è Z anch'essa.....
$3x+5y=t$ e per ogni classe di equivalenza abbiamo un t differente che puo assumere tutti i valori in Z. Quindi la cardinalità dell'insieme quoziente è Z, e la cardinalità delle varie classi è Z anch'essa.....
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