Insieme quoziente e classi di equivalenza

[Elena9612]

Ciao a tutti!
qualcuno potrebbe spiegarmi in modo rigoroso che cosa è l'insieme quoziente e che cosa sono le classi di equivalenza?

In particolare avrei bisogno di una spiegazione che mi permetta di risolvere degli esercizi ( e di capirli prima di tutto).
Sia:
$ xepsilony hArr 3|x-y $
una relazione di equivalenza, quali sono le classi di equivalenza e quale l'insieme quoziente?

grazie

[plesyo96]

Dovresti partire prima dalla definizione di relazioni di equivalenza. Una relazione di equivalenza è una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva. Siano x e y elementi di un insieme T in cui è definita una relazione di equivalenza R. Supponiamo xRy. Quindi diremo che x e y sono equivalenti modulo R. La classe di equivalenza di x è un sottoinsieme di T, costituito da tutti gli elementi che si equivalgono a x in modulo R. Ovvero $[x]_R = { y in T : x-=y (mod R)}$.
Un insieme quoziente di un insieme T, è costituito da tutte le classi di equivalenza di T in modulo R.
Nel tuo esempio le classi di equivalenza sono del tipo $[0]_ε [1]_ε [2]_ε$. Nello specifico $[0]_ε = {3,6,9,12...}$; $[1]_ε = {4,5,10,13...}$; $[2]_ε = {5,8,11,14...}$.
Ovviamente l'insieme quoziente è costituito da queste tre classi di equivalenza.