Insieme numerabile
Non so se è la sezione giusta ma mi chiedevo la seguente cosa:
l'insieme dei sottoinsiemi finiti di $Z$ è numerabile?
e l'insieme dei sottoinsiemi finiti di $Z^n$?
Grazie a tutti
l'insieme dei sottoinsiemi finiti di $Z$ è numerabile?
e l'insieme dei sottoinsiemi finiti di $Z^n$?
Grazie a tutti
Risposte
Siccome sono entrambi numerabili esistono due funzioni biiettive \(\displaystyle f\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{N} \) e \(\displaystyle g\colon \mathbb{Z}^n\to \mathbb{N} \).
Ad ogni sottoinsieme finito \(\displaystyle X \) di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) o \(\displaystyle \mathbb{Z}^n \) posso associare quindi un sottoinsieme \(\displaystyle Y \) di \(\displaystyle \mathbb{N} \) di egual cardinalità e viceversa ogni sottoinsieme finito \(\displaystyle Y \) di \(\displaystyle \mathbb{N} \) è associato tramite quelle due funzioni a sottoinsiemi finiti degli altri due insiemi in modo univoco (fissate le due funzioni si intende).
La domanda quindi ora diviene. L'insieme dei sottoinsiemi finiti di \(\displaystyle \mathbb{N} \) è un insieme numerabile? Premesso che io non mi sono mai gran che occupato di questi problemi ti suggerisco di pensare al fatto che l'insieme dei sottoinsiemi di una particolare cardinalità fissata è numerabile. Quindi tu ti stai chiedendo se l'unione di un numero numerabile di insiemi numerabili disgiunti è esso stesso numerabile. Ragionaci un po' sopra.
Ad ogni sottoinsieme finito \(\displaystyle X \) di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) o \(\displaystyle \mathbb{Z}^n \) posso associare quindi un sottoinsieme \(\displaystyle Y \) di \(\displaystyle \mathbb{N} \) di egual cardinalità e viceversa ogni sottoinsieme finito \(\displaystyle Y \) di \(\displaystyle \mathbb{N} \) è associato tramite quelle due funzioni a sottoinsiemi finiti degli altri due insiemi in modo univoco (fissate le due funzioni si intende).
La domanda quindi ora diviene. L'insieme dei sottoinsiemi finiti di \(\displaystyle \mathbb{N} \) è un insieme numerabile? Premesso che io non mi sono mai gran che occupato di questi problemi ti suggerisco di pensare al fatto che l'insieme dei sottoinsiemi di una particolare cardinalità fissata è numerabile. Quindi tu ti stai chiedendo se l'unione di un numero numerabile di insiemi numerabili disgiunti è esso stesso numerabile. Ragionaci un po' sopra.
L'insieme delle parti di un insieme infinito numerabile (ad esempio N) ha la stessa cardinalità dei reali (alef1), dunque non è numerabile ..no?
PS
complimenti a moderatori e creatori per questo bellissimo forum. scoperto un'ora fa, credo che dovro' licenziarmi, i post sono troooppo interessanti..e scusate se qualche volta l'entusiasmo del nofita porterà a banalità od errori.
PS
complimenti a moderatori e creatori per questo bellissimo forum. scoperto un'ora fa, credo che dovro' licenziarmi, i post sono troooppo interessanti..e scusate se qualche volta l'entusiasmo del nofita porterà a banalità od errori.
Ma quello non è l'insieme delle parti ma l'insieme dei sottoinsiemi finiti.
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