Insieme induttivo.
Buonasera,
sul mio libro di analisi, viene citato il seguente:
Assioma dell'infinito: esiste un insieme che contiene \(\displaystyle \emptyset \) e contiene il successivo di ogni suo elemento.
in altre parole: ogni insieme induttivo contiene lo $0$ e tutti i suoi successivi. Mi dice l'intersezione di due o piu insiemi induttivi, è un insieme induttivo "dimostrare per esercizio".
Se ho interpretato correttamente l'enunciato dell'assioma, due insiemi induttivi $A,B$, dovrebbero essere uguali, in quanto per ogni insieme induttivo $X$, si ha :
$a) qquad 0 in X $
$b) qquad x in X to x+1 in X $
quindi la loro intersezione, mi restituisce uno degli insiemi di partenza.
Ciao
sul mio libro di analisi, viene citato il seguente:
Assioma dell'infinito: esiste un insieme che contiene \(\displaystyle \emptyset \) e contiene il successivo di ogni suo elemento.
in altre parole: ogni insieme induttivo contiene lo $0$ e tutti i suoi successivi. Mi dice l'intersezione di due o piu insiemi induttivi, è un insieme induttivo "dimostrare per esercizio".
Se ho interpretato correttamente l'enunciato dell'assioma, due insiemi induttivi $A,B$, dovrebbero essere uguali, in quanto per ogni insieme induttivo $X$, si ha :
$a) qquad 0 in X $
$b) qquad x in X to x+1 in X $
quindi la loro intersezione, mi restituisce uno degli insiemi di partenza.
Ciao
Risposte
Qual è la definizione di insieme induttivo?
Sul libro sta scritto, un insieme che soddisfa l'enuciato dell'assioma, viene detto induttivo.
In simboli; Si definisce insieme induttivo $ X $, se :
$ a) qquad 0 in X $
$ b) qquad x in X to x+1 in X $
quindi mi verrebbe da dire che due insiemi induttivi, sono uguali
In simboli; Si definisce insieme induttivo $ X $, se :
$ a) qquad 0 in X $
$ b) qquad x in X to x+1 in X $
quindi mi verrebbe da dire che due insiemi induttivi, sono uguali
Ancora non hai detto che elemento è $0$ e cosa vuol dire fare $x+1$ (cioè la definizione di "successivo").
Si. Vengono definito rispettivamente
$0 := mbox{card}(emptyset)$
Per ogni insieme $A$ viene definito il successivo di $A$ e si indica con $A^+$ come $A^+:= A cup {A}$
Quindi, posso suppore che $X$ sia dalla forma $X={0,1,2,3,..,n,n+1,...,n+p,n+p+1,...}$ ?
$0 := mbox{card}(emptyset)$
Per ogni insieme $A$ viene definito il successivo di $A$ e si indica con $A^+$ come $A^+:= A cup {A}$
Quindi, posso suppore che $X$ sia dalla forma $X={0,1,2,3,..,n,n+1,...,n+p,n+p+1,...}$ ?
No, non tutti gli insiemi induttivi sono di quel tipo. Nessuno ti garantisce che nel tuo insieme X l'inclusione induca un ordine totale.
Se A e B sono induttivi allora prova a mostrare che la loro intersezione è induttiva usando la definizione. Devi mostrare che 0 appartiene all'intersezione e che se un elemento appartiene all'intersezione allora il suo successivo appartiene all'intersezione. Se ci pensi 5 minuti ti dovrebbe risultare ovvio.
Se A e B sono induttivi allora prova a mostrare che la loro intersezione è induttiva usando la definizione. Devi mostrare che 0 appartiene all'intersezione e che se un elemento appartiene all'intersezione allora il suo successivo appartiene all'intersezione. Se ci pensi 5 minuti ti dovrebbe risultare ovvio.
"Martino":
Se A e B sono induttivi allora prova a mostrare che la loro intersezione è induttiva usando la definizione. Devi mostrare che 0 appartiene all'intersezione e che se un elemento appartiene all'intersezione allora il suo successivo appartiene all'intersezione. Se ci pensi 5 minuti ti dovrebbe risultare ovvio.
Siano $A,B$ induttivi, quindi dalla definizione di insieme induttivo, si ha:
1) $0 in A $ e $0 in B$, allora $0 in A cap B.$
2) sia $x in A cap B to x in A , x in B $, essendo $A,B$ induttivi, anche $x+1 in A cap B$.
Quindi l'intersezione di due insiemi induttivi, è un insieme induttivo.
"Martino":
No, non tutti gli insiemi induttivi sono di quel tipo. Nessuno ti garantisce che nel tuo insieme X l'inclusione induca un ordine totale.
Forse il mio problema di fondo,è vedere gli insiemi induttivi come $X$, ossia, insiemi dotati di minimo $m=0$ e $mbox{sup}X=+ infty$
Puoi avere due elementi $A$ e $B$ incomparabili (cioè $A$ non è contenuto in $B$ e $B$ non è contenuto in $A$, per esempio $A={0}$ e $B={{0}}$) e considerare il più piccolo insieme induttivo $X$ che contiene $A$ e $B$ (cioè l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi contenenti $A$ e $B$), ti accorgerai che $A$ e $B$ in $X$ continuano ad essere incomparabili.
Se vuoi un'idea più intuitiva pensa a questo: l'insieme $RR$ dei numeri reali è induttivo se per "successivo" di $x$ intendi proprio la somma $x+1$ (ed è effettivamente così nella costruzione insiemistica!), così come $QQ$ per esempio. Insomma sto dicendo che se $x in RR$ allora $x+1 in RR$, e che se $x in QQ$ allora $x+1 in QQ$. L'esempio a cui pensi tu è $NN$, i numeri naturali: $0,1,2,...$. Quindi $NN$, $QQ$ e $RR$ sono tre insiemi induttivi distinti, pensaci.
Se vuoi un'idea più intuitiva pensa a questo: l'insieme $RR$ dei numeri reali è induttivo se per "successivo" di $x$ intendi proprio la somma $x+1$ (ed è effettivamente così nella costruzione insiemistica!), così come $QQ$ per esempio. Insomma sto dicendo che se $x in RR$ allora $x+1 in RR$, e che se $x in QQ$ allora $x+1 in QQ$. L'esempio a cui pensi tu è $NN$, i numeri naturali: $0,1,2,...$. Quindi $NN$, $QQ$ e $RR$ sono tre insiemi induttivi distinti, pensaci.
"Martino":
No, non tutti gli insiemi induttivi sono di quel tipo. Nessuno ti garantisce che nel tuo insieme X l'inclusione induca un ordine totale.
Comunque non è detto che due insiemi induttivi totalmente ordinati rispetto all'inclusione coincidano. Possiamo anche imporre la condizione aggiuntiva esterna che debbano essere totalmente ordinati rispetto all'inclusione e lo stesso non coinciderebbero.
In tal caso potremmo avere comunque due insiemi induttivi $A$ e $B$ fatti così...
$A = {0, (0 + 1), ((0 + 1) + 1), (((0 + 1) + 1) + 1), ...}$ con tutti e soli i successori di successori di successori di 0.
$B = {0, (0 + 1), ((0 + 1) + 1), (((0 + 1) + 1) + 1), ... , A, (A + 1), (A + 1) + 1, ((A + 1) + 1) + 1, ...}$
E sono entrambi totalmente ordinati (rispetto all'inclusione) ma distinti, perché $B$ ha $A$ e successori di $A$ come elementi mentre $A$ no.
Avevo pensato alla stessa cosa, ma secondo la definizione che ne ha dato galles90 $B$ non è induttivo (la sua definizione è abbastanza insolita, secondo la definizione più utilizzata lo sarebbe), per far funzionare il controesempio bisognerebbe aggiungere a $B$ tutto ciò che puoi ottenere applicando ad $A$ la funzione successore un numero finito di volte.
Ho corretto avevo fatto un errore, la definizione è sempre questa, non è insolita, sono io che sono un ciuccio 
. Mi sono sbagliato.
Ma possono esserci anche catene discendenti imponendo quest'altra condizione (di ordinamento totale)?
. Mi sono sbagliato.Ma possono esserci anche catene discendenti imponendo quest'altra condizione (di ordinamento totale)?
Hai ragione, la definizione è quella solita, mi ero confuso con un altra.
Comunque non credo possa avere catene discendenti infinite, perché la relazione di appartenenza è ben fondata. Credo che gli unici tipi d'ordine di insiemi induttivo totalmente ordinati siano quelli di ordinali che non sono successori.
Comunque non credo possa avere catene discendenti infinite, perché la relazione di appartenenza è ben fondata. Credo che gli unici tipi d'ordine di insiemi induttivo totalmente ordinati siano quelli di ordinali che non sono successori.
"otta96":
Hai ragione, la definizione è quella solita, mi ero confuso con un altra.
Comunque non credo possa avere catene discendenti infinite, perché la relazione di appartenenza è ben fondata. Credo che gli unici tipi d'ordine di insiemi induttivo totalmente ordinati siano quelli di ordinali che non sono successori.
Ma li sto ordinando rispetto all'inclusione e non all'appartenenza.
Con questa relazione qua $(A cup {A})$ vale anche che $(A \subseteq (A cup {A}))$.
Perché li ho ordinati con l'inclusione visto che solitamente si usa l'appartenenza? Per rispondere all'altro messaggio in cui si parlava di ordine totale rispetto all'inclusione.
P.S. Non ho conoscenze di algebra.
Ragazzi vi ringrazio per le risposte, ma vorrei precisare che sto leggendo un libro di analisi 1, il quale non entra molto nel dettaglio dell'algebra, come ovvio che sia. Il presente libro introduce l'insieme dei numeri naturali, sfruttando la definzione di insieme induttivo.
Ora vi riporto la definzione di insieme induttivo presa dal libro di algebra e l'assiome dell'infinito il quale definisce l'insieme induttivo :
1) Algebra
$(S,<)$ è un insieme ordinato induttivo se ogni catena non vuota di $S$ è superiormente limitata.
2) Analisi
Esiste un insieme che contiene l'insieme vuoto, e contiene il successivo di ogni suo elemento.
Ora sono ancora più confuso di prima
essendo che le definizione a mio avviso sembrano distinte, in quanto,
la 1) interpreto come un insieme che sia dotato di maggiorante, ma l'insieme dei numeri naturali $NN$ è soprovvisto di tale proprietà, cioè, è illimitato superiormente.
la 2) invece la interpreto come un insieme dotato dello $0$ e in più, per ogni $x$ appartente a tale insieme, il suo successivo $x+1$, appartiene lo stesso a tale insieme.
Quindi vi chiedo a voi di chiarmi un pò le idee.
Ciao
Ragazzi vi ringrazio per le risposte, ma vorrei precisare che sto leggendo un libro di analisi 1, il quale non entra molto nel dettaglio dell'algebra, come ovvio che sia. Il presente libro introduce l'insieme dei numeri naturali, sfruttando la definzione di insieme induttivo.
Ora vi riporto la definzione di insieme induttivo presa dal libro di algebra e l'assiome dell'infinito il quale definisce l'insieme induttivo :
1) Algebra
$(S,<)$ è un insieme ordinato induttivo se ogni catena non vuota di $S$ è superiormente limitata.
2) Analisi
Esiste un insieme che contiene l'insieme vuoto, e contiene il successivo di ogni suo elemento.
Ora sono ancora più confuso di prima
essendo che le definizione a mio avviso sembrano distinte, in quanto, la 1) interpreto come un insieme che sia dotato di maggiorante, ma l'insieme dei numeri naturali $NN$ è soprovvisto di tale proprietà, cioè, è illimitato superiormente.
la 2) invece la interpreto come un insieme dotato dello $0$ e in più, per ogni $x$ appartente a tale insieme, il suo successivo $x+1$, appartiene lo stesso a tale insieme.
Quindi vi chiedo a voi di chiarmi un pò le idee.
Ciao
"bub":
Ma li sto ordinando rispetto all'inclusione e non all'appartenenza.
Con questa relazione qua $(A cup {A})$ vale anche che $(A \subseteq (A cup {A}))$.
Però hai comunque che $A \in A cup {A}$, quindi si dovrebbe comunque applicare quello che dicevo, no?
"galles90":
1) Algebra
$ (S,<) $ è un insieme ordinato induttivo se ogni catena non vuota di $ S $ è superiormente limitata.
2) Analisi
Esiste un insieme che contiene l'insieme vuoto, e contiene il successivo di ogni suo elemento.
Ora sono ancora più confuso di prima
Dai un'occhiata qui.
La prima definizione del link è quella del tuo libro di analisi, mentre la seconda quella del tuo libro di algebra.
"otta96":
[quote="bub"]Ma li sto ordinando rispetto all'inclusione e non all'appartenenza.
Con questa relazione qua $(A cup {A})$ vale anche che $(A \subseteq (A cup {A}))$.
Però hai comunque che $A \in A cup {A}$, quindi si dovrebbe comunque applicare quello che dicevo, no?[/quote]
Avevo fatto notare questa cosa per far vedere che l'applicazione dell'operazione di successore non elimina banalmente la possibilità di ordinare totalmente l'insieme rispetto all'inclusione e che nell'esempio dell'altro messaggio l'insieme era totalmente ordinato anche rispetto all'inclusione.
Io non lo so, non mi è chiarissimo, anche se si assume la fondazione le catene discendenti inclusive di insiemi possono comunque esistere.
Ad esempio...
1) Un insieme induttivo qualsiasi sicuramente non contiene catene discendenti rispetto all'appartenenza, mentre
2) Qualche insieme iduttivo contiene catene discendenti rispetto all'inclusione.
Bisogna vedere che succede nei due casi quando si assume che siano totalmente ordinati (rispettivamente alle due relazioni), nel primo caso (quello dell'appartenenza) banalmente di sicuro non ci saranno catene discendenti dato che in generale non ci sono catene discendenti rispetto all'appartenenza (che sia induttivo o meno l'insieme), nel secondo bisogna vedere e mostrare perché non possono esserci, assumendo anche che l'insieme induttivo sia totalmente ordinato rispetto all'inclusione, visto che in generale tra gli insiemi induttivi possono esserci e come alcuni insiemi induttivi con catene discendenti rispetto all'inclusione.
Ti "mostro" che la 2) è vera. Se prendi una catena discendente inclusiva di insiemi aggiungi a questo insieme di insiemi lo $0$ e a partire da questo generi poi l'insieme più piccolo chiuso rispetto all'operazione di successore, avrai costruito un insieme induttivo che ha una catena discendente inclusiva.
Ovviamente tutto ciò vale assumendo l'esistenza di qualche insieme induttivo.
Non so se sono riuscito a spiegarmi.
P. S. Ci ho pensato un po' meglio e direi così, a naso, che non si può fare, però non ho un'idea per mostrare in generale che non può esserci un insieme induttivo totalmente ordinato rispetto all'inclusione che ha una catena discendente. Se non si può fare non discende immediatamente dalla fondazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo