Insieme $I_n$
Ciaoa a tutti. nelle prime pagine del libro mi si definisce un insimee I_n={1,..n} per ogni n in N.
Mi chiedevo però se era da intendere anche come infinito, in effetti il concetto oo non esiste come "punto" nei naturali, quindi se ho ben intenso I_n è un qualcisasi insieme finito (mai infinito) di naturali, cioè in sottoinsieme finito di N?
Grazie
Mi chiedevo però se era da intendere anche come infinito, in effetti il concetto oo non esiste come "punto" nei naturali, quindi se ho ben intenso I_n è un qualcisasi insieme finito (mai infinito) di naturali, cioè in sottoinsieme finito di N?
Grazie
Risposte
Sì
Grazie mille, il dubbio mi era venuto perché spesso si usa
$∪_iA_i, i in I_n$, in tal caso è per quanto detto evidentemente una unione finita (per il motivo suddetto che n=oo non esiste propriamente ed è del tutto insensato)
Mentre se scrivo $∪_iA_i, i in NN$ intendo di solito unione infinita, riflettendoci avevo pensato "infinita" nel senso che n varia in tutto N (infinito numerabile), non tanto perché esista un n=oo ma piuttosto perché intendo che prendo un qualsiasi naturale. Il fatto però è che qua mi incasino coi concetti perché mi viene da dire: "si ma n lo fisso di volta in volta e quindi come fa a essere una unione infinita se n=oo è insensato?" Mi pare sempre finita (come nel caso 1).
$∪_iA_i, i in I_n$, in tal caso è per quanto detto evidentemente una unione finita (per il motivo suddetto che n=oo non esiste propriamente ed è del tutto insensato)
Mentre se scrivo $∪_iA_i, i in NN$ intendo di solito unione infinita, riflettendoci avevo pensato "infinita" nel senso che n varia in tutto N (infinito numerabile), non tanto perché esista un n=oo ma piuttosto perché intendo che prendo un qualsiasi naturale. Il fatto però è che qua mi incasino coi concetti perché mi viene da dire: "si ma n lo fisso di volta in volta e quindi come fa a essere una unione infinita se n=oo è insensato?" Mi pare sempre finita (come nel caso 1).
Nessun ulteriore aiuto? 
volevo davvero capire questa cosetta
volevo davvero capire questa cosetta
E' che non si capisce cosa vuoi capire.
Non si capisce il tuo dubbio, nel secondo caso è un'unione infinita, e quindi? È un'unione di una famiglia infinita di insiemi. La notazione che si usa di solito è
$bigcup_(i in NN) A_i$
e più in generale se hai un insieme $I$ di indici puoi scrivere
$bigcup_(i in I) A_i$
L'insieme $I$ può essere finito o infinito, come preferisci. Se $I={1,...,n}$ allora puoi scrivere anche
$bigcup_(i=1)^n A_i$
Di solito la scrittura
$bigcup_(i=1)^(oo) A_i$
indica un'unione infinita dove è da intendersi che $i$ varia in $NN$. È solo una notazione. In altre parole
$bigcup_(i=1)^(oo) A_i = bigcup_(i in NN) A_i$
dove naturalmente intendo che $NN$ è l'insieme di tutti i numeri naturali a partire da $1$.
$bigcup_(i in NN) A_i$
e più in generale se hai un insieme $I$ di indici puoi scrivere
$bigcup_(i in I) A_i$
L'insieme $I$ può essere finito o infinito, come preferisci. Se $I={1,...,n}$ allora puoi scrivere anche
$bigcup_(i=1)^n A_i$
Di solito la scrittura
$bigcup_(i=1)^(oo) A_i$
indica un'unione infinita dove è da intendersi che $i$ varia in $NN$. È solo una notazione. In altre parole
$bigcup_(i=1)^(oo) A_i = bigcup_(i in NN) A_i$
dove naturalmente intendo che $NN$ è l'insieme di tutti i numeri naturali a partire da $1$.
Grazie per le risposte.
Il mio dubbio in realtà è solo notazionale e non così profondo. Riesco a capire una "unione infinita" e non mi disturba, però non capisco perché notazionalmente sia corretto provo a spiegarmi.
$N$ è finito numerabile, però $oo!inNN$, insomma infinito non è da intendersi come concetto di numero.
Quindi quando scrivo $I_n={1,....,n}$ non capisco perché possa essere infinito se do un "n" di termine chiamiamolo così. Ho un insieme finito per me $n!oo$ sempre. Da quanto diceva megas_ mi pareva di capire fosse corretto invece sbaglio $I_n$ può essere infinito?
L'altro dubbio è simile: $bigcup_(i=1)^n A_i, i in NN$ dovrebbe essere equivalente a $bigcup_(i=1)^oo A_i$, ma di nuovo quando nella prima delle due pongo $i in NN$ io immagino un "n" di "fine unione" ma n non esiste come infinito quindi non capisco come possa quella notazione funzionare e sommare a infinito.
Il mio dubbio in realtà è solo notazionale e non così profondo. Riesco a capire una "unione infinita" e non mi disturba, però non capisco perché notazionalmente sia corretto provo a spiegarmi.
$N$ è finito numerabile, però $oo!inNN$, insomma infinito non è da intendersi come concetto di numero.
Quindi quando scrivo $I_n={1,....,n}$ non capisco perché possa essere infinito se do un "n" di termine chiamiamolo così. Ho un insieme finito per me $n!oo$ sempre. Da quanto diceva megas_ mi pareva di capire fosse corretto invece sbaglio $I_n$ può essere infinito?
L'altro dubbio è simile: $bigcup_(i=1)^n A_i, i in NN$ dovrebbe essere equivalente a $bigcup_(i=1)^oo A_i$, ma di nuovo quando nella prima delle due pongo $i in NN$ io immagino un "n" di "fine unione" ma n non esiste come infinito quindi non capisco come possa quella notazione funzionare e sommare a infinito.
Continuo a non capire i tuoi dubbi.
$bigcup_(i=1)^n A_i$ è uguale all'unione FINITA $A_1 uu ... uu A_n$,
$bigcup_(i=1)^oo A_i$ è uguale all'unione INFINITA $A_1 uu A_2 uu A_3 uu ...$ (dove i puntini a destra stanno ad indicare che devi andare avanti indefinitamente).
La scrittura $bigcup_(i=1)^oo A_i$ è solo una notazione (solo una notazione!) per indicare che stai facendo un'unione infinita di tutti gli $A_i$ con $i in NN$, non è da considerarsi un caso particolare di $bigcup_(i=1)^n A_i$, che invece è un'unione finita.
"pantagruele":Esatto.
$NN$ è finito numerabile, però $oo!inNN$, insomma infinito non è da intendersi come concetto di numero.
Quindi quando scrivo $I_n={1,....,n}$ non capisco perché possa essere infinitoL'insieme $I_n$ è finito, NON è infinito. Come ti viene in mente che possa essere infinito?
L'altro dubbio è simile: $bigcup_(i=1)^n A_i, i in NN$ dovrebbe essere equivalente a $bigcup_(i=1)^oo A_i$Assolutamente no, sono due cose diversissime.
$bigcup_(i=1)^n A_i$ è uguale all'unione FINITA $A_1 uu ... uu A_n$,
$bigcup_(i=1)^oo A_i$ è uguale all'unione INFINITA $A_1 uu A_2 uu A_3 uu ...$ (dove i puntini a destra stanno ad indicare che devi andare avanti indefinitamente).
La scrittura $bigcup_(i=1)^oo A_i$ è solo una notazione (solo una notazione!) per indicare che stai facendo un'unione infinita di tutti gli $A_i$ con $i in NN$, non è da considerarsi un caso particolare di $bigcup_(i=1)^n A_i$, che invece è un'unione finita.
Ciao e grazie, scrivo il messaggio solo per conferma ma mi pare ora tutto tornare e aver capito dove avevo preso degli abbagli grazie alla tua risposta. Vediamo:
Invece credo intendessi I può essere finito o infinito, quando $I_n={1,...n}$ è finito di n termini.
OK
Ok, $bigcup_(i=1)^n A_i, i in NN$ è finita e non è da intendersi come unione su infinite. Pensavo che essendo n preso in N si volesse intendere "nell'insieme infinito" ma poi non mi ritrovavo con la notazione dato che $n !in NN$ e da qui figliavano gli altri dubbi.
Infine posso ora digerire $bigcup_(i=1)^oo A_i$ essendo notazione per compattare il concetto di unione infinita.
Ti ringrazio molto, mi ero avvitato su ste cacchiate.
L'insieme $I_n$ è finito, NON è infinito. Come ti viene in mente che possa essere infinito?In effetti inizialmente pensavo fosse finito. ma poi credo di aver travisato la tua prima risposta:
L'insieme $I$ può essere finito o infinito, come preferisci. Se $I={1,...,n}$L'avevo intesa come $I:=I_n={1,...,n}$ e che dicessi $I=I_n$ può essere infinito.
Invece credo intendessi I può essere finito o infinito, quando $I_n={1,...n}$ è finito di n termini.
OK
Assolutamente no, sono due cose diversissime.
Ok, $bigcup_(i=1)^n A_i, i in NN$ è finita e non è da intendersi come unione su infinite. Pensavo che essendo n preso in N si volesse intendere "nell'insieme infinito" ma poi non mi ritrovavo con la notazione dato che $n !in NN$ e da qui figliavano gli altri dubbi.
Infine posso ora digerire $bigcup_(i=1)^oo A_i$ essendo notazione per compattare il concetto di unione infinita.
Ti ringrazio molto, mi ero avvitato su ste cacchiate.
Correggo un typo di cui mi accorgo solo ora... in realtà volevo dire:
Ok, $bigcup_(i) A_i, i in NN$ è finita (non è infinita giusto?), avevo mischiato due cose col copia incolla.
Perché il dubbio sorgeva sul fatto che, quando fisso una i di "termine", mi pare di avere sempre in $i$ "numero" finito, stando $i in NN$
Era questo il dubbio che cercavo di esporre nel secondo messaggio: da una parte mi sembra che possa essere notazionalmente inteso come unione infinita esseno $NN$ infinito numerabile, d'altro caso io posso leggerla così: $i in NN$ e stando i nei naturali esso non sarà mai $i=oo$ (non esistendo come numero propriamente detto), quindi è insensato pensarla come unione infinita in tal caso ed essendo $i$ un qualsiasi naturale sarà una unione finita.
Ok, $bigcup_(i) A_i, i in NN$ è finita (non è infinita giusto?), avevo mischiato due cose col copia incolla.
Perché il dubbio sorgeva sul fatto che, quando fisso una i di "termine", mi pare di avere sempre in $i$ "numero" finito, stando $i in NN$
Era questo il dubbio che cercavo di esporre nel secondo messaggio: da una parte mi sembra che possa essere notazionalmente inteso come unione infinita esseno $NN$ infinito numerabile, d'altro caso io posso leggerla così: $i in NN$ e stando i nei naturali esso non sarà mai $i=oo$ (non esistendo come numero propriamente detto), quindi è insensato pensarla come unione infinita in tal caso ed essendo $i$ un qualsiasi naturale sarà una unione finita.
@Martino: non ho spiegato di nuovo bene vero? Volevo provare a correggermi e chiarirmi riassumendo.
La domanda che mi ponevo su $bigcup_(i) A_i, i in NN$ (*) è se è da leggersi come:
1) $bigcup_(i=1)^oo A_i$
2) oppure, ecco il dubbio: essendo che $i$ è un numero nei naturali e sappiamo che $i!=oo$ dato che oo non è un numero, allora mi dicevo, scrivendo (*) io affibio a $i$ un certo valore da 1,2,3.... fino a un $i=n$ ma $n!=oo$ quindi non può rappresentare una unione infinita la (*) perché corre sui numeri reali e infinito non ne fa parte.
La domanda che mi ponevo su $bigcup_(i) A_i, i in NN$ (*) è se è da leggersi come:
1) $bigcup_(i=1)^oo A_i$
2) oppure, ecco il dubbio: essendo che $i$ è un numero nei naturali e sappiamo che $i!=oo$ dato che oo non è un numero, allora mi dicevo, scrivendo (*) io affibio a $i$ un certo valore da 1,2,3.... fino a un $i=n$ ma $n!=oo$ quindi non può rappresentare una unione infinita la (*) perché corre sui numeri reali e infinito non ne fa parte.
Non si scrive mai $bigcup_i A_i, i in NN$. Si scrive invece
(1) $bigcup_(i in NN) A_i$
oppure
(2) $bigcup_(i=1)^(oo) A_i$
e (1), (2) sono equivalenti.
(1) $bigcup_(i in NN) A_i$
oppure
(2) $bigcup_(i=1)^(oo) A_i$
e (1), (2) sono equivalenti.
"Martino":
Non si scrive mai $bigcup_i A_i, i in NN$. Si scrive invece
(1) $bigcup_(i in NN) A_i$
oppure
(2) $bigcup_(i=1)^(oo) A_i$
e (1), (2) sono equivalenti.
Beh, si può scrivere anche \(\bigcup \{A_i\mid i\in\mathbb N\}\), che è circa la stessa cosa (e in effetti è persino più formale, perché \(\bigcup : Set^{\mathbb N}\to Set\) è definito sulle famiglie di insiemi [e più in generale, \(\bigcup : Set^I \to Set\) dipende dall'insieme di indici $I$, ma accetta una famiglia indicizzata da $I$ -uno dovrebbe scrivere \(\bigcup_I\{A_i\mid i\in I\}\) in generale, che sarebbe completamente esplicito, ma non si fa mai perché "ci capiamo"], e tale è \(\{A_i\mid i\in\mathbb N\}\).
Il problema penso che sia che OP è convint@ che quando uno fa un unione di insiemi la faccia "fino a un certo punto, e poi si fermi": e dato che questo punto non arriva mai se si sommano tra loro una quantità infinita di insiemi, cosa diavolo è \(\bigcup\{A_i\mid i\in\mathbb N\}\)?
Sì, credo il mio errore sia quello evidenziato da megas_archon, la mia idea era che scrivere: $bigcup_(i in NN) A_i$ volesse dire $bigcup_(i=1)^n A_i$; nel senso che io scelgo sempre un $i=n!=oo$, $n in NN$ di "arresto" (però mi dite che ciò è errato appunto).
Mentre capivo bene la convenzione di scrittura: $bigcup_(i=1)^oo A_i$, come unione infinita.
Mentre capivo bene la convenzione di scrittura: $bigcup_(i=1)^oo A_i$, come unione infinita.
Ok quindi adesso è tutto chiaro giusto?
Sì è più chiaro nel senso che ho capito tutti i casi elencati 
Devo dire che devo ancora digerire bene perché $bigcup_(i in NN) A_i$ sia una somma infinita, scritta così come notazione. Mi viene sempre da prenderla con una "i" in cui si arresta prima o poi, dato che varia nei naturali immagino che i debba assumere un valore in N e N non contiene infinito come numero. Parlo a livello di intuito, sebbene mi sia chiaro che mi avete detto che non è così e d'ora in poi saprò che è una somma infinita (cosa che prima non sapevo e mi creava confusioni nella lettura del libro).
Per gli altri non ho più nemmeno un minimo dubbio, di fatto nemmeno su questa perché come dicevo ora so cosa vuol dire. Anche se non comprendo appieno perché sia una somma infinita.
Devo dire che devo ancora digerire bene perché $bigcup_(i in NN) A_i$ sia una somma infinita, scritta così come notazione. Mi viene sempre da prenderla con una "i" in cui si arresta prima o poi, dato che varia nei naturali immagino che i debba assumere un valore in N e N non contiene infinito come numero. Parlo a livello di intuito, sebbene mi sia chiaro che mi avete detto che non è così e d'ora in poi saprò che è una somma infinita (cosa che prima non sapevo e mi creava confusioni nella lettura del libro).
Per gli altri non ho più nemmeno un minimo dubbio, di fatto nemmeno su questa perché come dicevo ora so cosa vuol dire. Anche se non comprendo appieno perché sia una somma infinita.
Non è una somma infinita, è un'unione infinita. Cosa c'entra la somma? Sai cosa significa unione di insiemi? Dire che un elemento $x$ appartiene all'unione $bigcup_(i in I) A_i$ significa che esiste $i in I$ tale che $x in A_i$.
Prova a farti degli esempi. Scegliamo per esempio $A_i = {i}$ per ogni $i in NN$. Allora $bigcup_(i in NN) A_i = NN$, concordi?
Analogamente se scegliamo $A_i = {1,...,i}$ per ogni $i in NN$ allora anche in questo caso $bigcup_(i in NN) A_i = NN$, concordi? Solo che stavolta l'unione non è disgiunta.
Potremmo anche scegliere $A_i = {1,2,3}$ per ogni $i in NN$. In questo caso $bigcup_(i in NN) A_i = {1,2,3}$.
Potremmo anche scegliere $A_i = {2^i}$ per ogni $i in NN$. In questo caso $bigcup_(i in NN) A_i$ è uguale all'insieme di tutte le potenze di $2$.
Prova a farti degli esempi. Scegliamo per esempio $A_i = {i}$ per ogni $i in NN$. Allora $bigcup_(i in NN) A_i = NN$, concordi?
Analogamente se scegliamo $A_i = {1,...,i}$ per ogni $i in NN$ allora anche in questo caso $bigcup_(i in NN) A_i = NN$, concordi? Solo che stavolta l'unione non è disgiunta.
Potremmo anche scegliere $A_i = {1,2,3}$ per ogni $i in NN$. In questo caso $bigcup_(i in NN) A_i = {1,2,3}$.
Potremmo anche scegliere $A_i = {2^i}$ per ogni $i in NN$. In questo caso $bigcup_(i in NN) A_i$ è uguale all'insieme di tutte le potenze di $2$.
Purtroppo è un lapsus di scrittura ma non di concetto, perché conosco la differenza tra sommatoria e unione per questo caso intendevo unioni.
Sono pienamente d'accordo su quello che hai illustrato e mi sono esempi chiari, ci ho riflettutto nel leggerli e non trovo problemi nel comprenderli.
In realtà data la svista si era capito male quello che volevo dire:
In sostanza immagino i che viene scelto dentro i naturali, qualunque i scelga non è mai infintio, perché i sarà 1, sarà 2, sarà n, sarà n+1 sarà n+m sarà.... ma mai $i=oo$, è questo che mi confonde.
Sono pienamente d'accordo su quello che hai illustrato e mi sono esempi chiari, ci ho riflettutto nel leggerli e non trovo problemi nel comprenderli.
In realtà data la svista si era capito male quello che volevo dire:
Devo dire che devo ancora digerire bene perché $bigcup_(i in NN) A_i$ sia una unione infinita, scritta così come notazione. Mi viene sempre da prenderla con una "i" nei naturali, quindi è un valore numerico, dato che varia nei naturali immagino che i debba assumere un valore in N e N non contiene infinito come numero. Parlo a livello di intuito, sebbene mi sia chiaro che mi avete detto che non è così e d'ora in poi saprò che è una unione infinita (cosa che prima non sapevo e mi creava confusioni nella lettura del libro).Il mio dubbio era puramente notazionale, nel senso che ogni volta che scelgo un "i" di fatto ha un valore che non raggiunge mai "infinito" come numero, e quindi fatico a vedere perché sia equivalente a $bigcup_(i=1)^oo A_i$
In sostanza immagino i che viene scelto dentro i naturali, qualunque i scelga non è mai infintio, perché i sarà 1, sarà 2, sarà n, sarà n+1 sarà n+m sarà.... ma mai $i=oo$, è questo che mi confonde.
Ok ma la scrittura $bigcup_(i=1)^(oo) A_i$ è solo una notazione, non significa che $i$ assume tra gli altri il valore $oo$. Significa solo che $i$ percorre tutti i numeri naturali. E' solo una notazione. Mi sembra che le cose adesso ti siano abbastanza chiare.
Sì, certo, accettandola così dopo le tue/vostre spiegazioni la capisco.
Mi confondeva ma in effetti mi hai fatto riflettere con il tuo ultimo post sul fatto che $bigcup_(i in NN) A_i:={x|∃A_i : x in A_i}={x|∃i in NN : x in A_i}$ e quindi quel cavolo di oo mi mandava in pappa ma è solo notazionale e non ha senso vero e proprio. Però si, direi che ora ci sono dopo la tua spiegazione
grazie ^^
Mi confondeva ma in effetti mi hai fatto riflettere con il tuo ultimo post sul fatto che $bigcup_(i in NN) A_i:={x|∃A_i : x in A_i}={x|∃i in NN : x in A_i}$ e quindi quel cavolo di oo mi mandava in pappa ma è solo notazionale e non ha senso vero e proprio. Però si, direi che ora ci sono dopo la tua spiegazione
grazie ^^
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