Insieme di tutte le applicazioni
Siano $S={a,b}$ e $T={1,2}$ l'insieme di tutte le applicazioni $f:S->T$
i) Determinare quanti e quali sono gli elementi di X, specificando per ognuno l'immagine di a e b.
ii) Di tali applicazioni discutere iniettività e suriettività.
Come posso svolgere il quesito i)
i) Determinare quanti e quali sono gli elementi di X, specificando per ognuno l'immagine di a e b.
ii) Di tali applicazioni discutere iniettività e suriettività.
Come posso svolgere il quesito i)
Risposte
Immagino che $X$ sia l'insieme di tutte le funzioni (nel testo manca)
Se è così allora
Le funzioni da un insieme di cardinalità finita $a$ a uno di cardinalità finita $b$ sono $a^b$ poichè per ogni elemento del dominio ci sono $b$ possibili immagini.
quindi nel tuo caso la cardinalità di $X$ è $4$.
Quando studiavo questo argomento ho trovato molto comodo esprimere ciascuna funzione come un insieme
$f:A\rightarrow B, f={(a,b)\inA\timesB|f(a)=b}$
nel tuo caso le quattro funzioni sono:
$f={(a,1),(b,2)} g={(a,2),(b,1)}, h={(a,1),(b,1)}, i={(a,2),(b,2)}$
Se è così allora
Le funzioni da un insieme di cardinalità finita $a$ a uno di cardinalità finita $b$ sono $a^b$ poichè per ogni elemento del dominio ci sono $b$ possibili immagini.
quindi nel tuo caso la cardinalità di $X$ è $4$.
Quando studiavo questo argomento ho trovato molto comodo esprimere ciascuna funzione come un insieme
$f:A\rightarrow B, f={(a,b)\inA\timesB|f(a)=b}$
nel tuo caso le quattro funzioni sono:
$f={(a,1),(b,2)} g={(a,2),(b,1)}, h={(a,1),(b,1)}, i={(a,2),(b,2)}$
allora, poichè mi dice di specificare le funzioni ho:
$f(a)=1$
$f(b)=2$
$f(a)=2$
$f(b)=1$
Adesso devo discutere l'iniettività e la suriettività
iniettività:
$AA x1,x2 in S, f(x1)=f(x2) => x1=x2$
quindi basta prendere:
$f(a)=f(b) => 1=1 => a=b$
suriettività:
$AA y in T, EE x in S : y=f(x)$
è anche suriettiva.
Inoltre, nell'esercizio chiede:
Definire poi in X le seguenti relazioni:
$f R g <=> f(a)=g(a)$
$f pi g <=> f(x)<=g(x), AA x in S$
per la prima relazione, mi chiede di verificare che è una relazione di equivalenza e mi chiede di scrivere quante sono e da quali applicazioni sono costituite le relative classi di equivalenza.
Per la verifica che è una rel. di equivalenza ho fatto così:
riflessività:
$AA f(a) in X, f(a) R f(a), cioè f(a)=f(a)$ ok!
simmetria:
$AA f(a), g(a) in X, f(a) R g(a) => g(a) R f(a), cioè f(a)=g(a) => g(a)=f(a)$ ok!
transitività
$AA f(a), g(a), h(a) in X, f(a) R g(a) e g(a) R h(a) => f(a) R h(a) , cioè, f(a)=g(a) e g(a)=h(a) => f(a)=h(a)$ ok!
$R$ è una relazione di equivalenza.
Adesso dovrei risolvere l'altro quesito, quello relativo alle classi di equivalenza... come faccio?
Per la seconda relazione ($pi$), chiede di verificare se è una relazione d'ordine, non totale, e mi chiede di disegnare il diagramma di Hasse di $(X, pi)$. Dire perchè $(X, pi)$ è un reticolo limitato e complementato.
Ho verificato che è una relazione d'ordine, e lo è!
Per la non totalità ho verifiato questo:
$AA f(x), g(x) in X, f(x) <= g(x)$ oppure $g(x) <= f(x)$
cosa posso dire???
Per quanto riguarda il fatto che è un reticolo limitato e complementato. Un reticolo è limitato se ammette estremo inferiore e superiore, ed è complementato se è limitato e :
$AA a in L, EE b in L: a and b=0$ e $a or b=1$ (questa è la definizione in generale), adesso come applico questo concetto alla mia relazione ??
grazie anticipatamente.
$f(a)=1$
$f(b)=2$
$f(a)=2$
$f(b)=1$
Adesso devo discutere l'iniettività e la suriettività
iniettività:
$AA x1,x2 in S, f(x1)=f(x2) => x1=x2$
quindi basta prendere:
$f(a)=f(b) => 1=1 => a=b$
suriettività:
$AA y in T, EE x in S : y=f(x)$
è anche suriettiva.
Inoltre, nell'esercizio chiede:
Definire poi in X le seguenti relazioni:
$f R g <=> f(a)=g(a)$
$f pi g <=> f(x)<=g(x), AA x in S$
per la prima relazione, mi chiede di verificare che è una relazione di equivalenza e mi chiede di scrivere quante sono e da quali applicazioni sono costituite le relative classi di equivalenza.
Per la verifica che è una rel. di equivalenza ho fatto così:
riflessività:
$AA f(a) in X, f(a) R f(a), cioè f(a)=f(a)$ ok!
simmetria:
$AA f(a), g(a) in X, f(a) R g(a) => g(a) R f(a), cioè f(a)=g(a) => g(a)=f(a)$ ok!
transitività
$AA f(a), g(a), h(a) in X, f(a) R g(a) e g(a) R h(a) => f(a) R h(a) , cioè, f(a)=g(a) e g(a)=h(a) => f(a)=h(a)$ ok!
$R$ è una relazione di equivalenza.
Adesso dovrei risolvere l'altro quesito, quello relativo alle classi di equivalenza... come faccio?
Per la seconda relazione ($pi$), chiede di verificare se è una relazione d'ordine, non totale, e mi chiede di disegnare il diagramma di Hasse di $(X, pi)$. Dire perchè $(X, pi)$ è un reticolo limitato e complementato.
Ho verificato che è una relazione d'ordine, e lo è!
Per la non totalità ho verifiato questo:
$AA f(x), g(x) in X, f(x) <= g(x)$ oppure $g(x) <= f(x)$
cosa posso dire???
Per quanto riguarda il fatto che è un reticolo limitato e complementato. Un reticolo è limitato se ammette estremo inferiore e superiore, ed è complementato se è limitato e :
$AA a in L, EE b in L: a and b=0$ e $a or b=1$ (questa è la definizione in generale), adesso come applico questo concetto alla mia relazione ??
grazie anticipatamente.
"gaten":
allora, poichè mi dice di specificare le funzioni ho:
$f(a)=1$
$f(b)=2$
$f(a)=2$
$f(b)=1$
No.
hai
f(x)={1 se x=a, 2 se x=b
bigettiva.
f(x)={1 se x=b, 2 se x=a
bigettiva.
f(x)=1
né iniettiva né surgettiva
f(x)=2
né iniettiva né surgettiva
il resto dell'esercizio lo leggo quando ho un po' di tempo in più
ok, grazie per la disponibilità
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