Insieme delle parti: esercizio.
Se $S$ è un insieme qualunque, dimostrare che è impossibile trovare un'applicazione di $S$ su $P(S)$.
Ovvero la funzione non può essere surgettiva.
PREMESSA: l'esercizio possiede una stella, quindi è considerato difficile. Volendo, l'esercizio è collegato ai lavori di Cantor dei quali studiai qualcosa un bel po' di tempo fa ( $RR=P(NN)$ ha potenza maggiore di $NN$ e altro ). Tuttavia il testo non introduce nemmeno la cardinalità di un insieme, quindi non dovrebbe essere necessario scomodare Cantor, ma dovrebbe essere risolvibile in altro modo. Non andrò a rivedere quegli studi, al momento.
Suddividerò la soluzione in due fasi: una per gli insiemi finiti e l'altra per quelli infiniti, anche se l'ultima è generica; nonostante questo ritengo che i primi siano un interessante caso.
A - Insiemi finiti:
$S={x_1,...,x_n}$. Sia: $f:StoP(S)$.
Per la definizione di funzione ad ogni elemento di $S$ può essere associato un solo elemento di $P(S)$. Quindi al più sono associati $n$ elementi di $P(S)$, ma questo contiene $2^n(>n)$ elementi, pertanto $f$ non è surgettiva.
B - Insiemi infiniti:
Sia $f:StoP(S)$ surgettiva ( lo ammettiamo per assurdo ).
Allora $AAYinP(S),EEx\inS:f(x)=Y$.
Se $x\inY^^f(x)=Y$, dalla definizione di funzione ( ad ogni $x\inS$ è associato un solo $YinP(S)$ ), segue:
$EEY'inP(S),x\inY':Y'!=Y=f(x)$.
Ovvero in base a questo criterio $Y'$ non è associato.
Viceversa, se $xnotinY^^f(x)=Y$ allora $EEY'inP(S),x\inY':Y'!=Y=f(x)$.
Ovvero $x$ non può più essere collegato ad un sottoinsieme ( elemento di $P(S)$ ) che lo contiene.
Quindi la funzione non può essere surgettiva, perché si trova almeno un elemento di $P(S)$ non collegabile, in ogni caso.
Per ora metto la soluzione così, magari avrà bisogno di essere raffinata, ma quello che mi interessa è l'idea chiave. Voglio insistere con questo procedimento.
Ovvero la funzione non può essere surgettiva.
PREMESSA: l'esercizio possiede una stella, quindi è considerato difficile. Volendo, l'esercizio è collegato ai lavori di Cantor dei quali studiai qualcosa un bel po' di tempo fa ( $RR=P(NN)$ ha potenza maggiore di $NN$ e altro ). Tuttavia il testo non introduce nemmeno la cardinalità di un insieme, quindi non dovrebbe essere necessario scomodare Cantor, ma dovrebbe essere risolvibile in altro modo. Non andrò a rivedere quegli studi, al momento.
Suddividerò la soluzione in due fasi: una per gli insiemi finiti e l'altra per quelli infiniti, anche se l'ultima è generica; nonostante questo ritengo che i primi siano un interessante caso.
A - Insiemi finiti:
$S={x_1,...,x_n}$. Sia: $f:StoP(S)$.
Per la definizione di funzione ad ogni elemento di $S$ può essere associato un solo elemento di $P(S)$. Quindi al più sono associati $n$ elementi di $P(S)$, ma questo contiene $2^n(>n)$ elementi, pertanto $f$ non è surgettiva.
B - Insiemi infiniti:
Sia $f:StoP(S)$ surgettiva ( lo ammettiamo per assurdo ).
Allora $AAYinP(S),EEx\inS:f(x)=Y$.
Se $x\inY^^f(x)=Y$, dalla definizione di funzione ( ad ogni $x\inS$ è associato un solo $YinP(S)$ ), segue:
$EEY'inP(S),x\inY':Y'!=Y=f(x)$.
Ovvero in base a questo criterio $Y'$ non è associato.
Viceversa, se $xnotinY^^f(x)=Y$ allora $EEY'inP(S),x\inY':Y'!=Y=f(x)$.
Ovvero $x$ non può più essere collegato ad un sottoinsieme ( elemento di $P(S)$ ) che lo contiene.
Quindi la funzione non può essere surgettiva, perché si trova almeno un elemento di $P(S)$ non collegabile, in ogni caso.
Per ora metto la soluzione così, magari avrà bisogno di essere raffinata, ma quello che mi interessa è l'idea chiave. Voglio insistere con questo procedimento.
Risposte
"_GaS_":Veramente si dimostra che \(\displaystyle\mathbb{R}\) è un insieme più che numerabile, e utilizzando l'ipotesi del continuo si dimostra che \(\displaystyle\mathbb{R}\) ha la potenza del continuo.
...$ RR=P(NN) $...
"_GaS_":Se puoi giustificare meglio.
...Se $ x\inY^^f(x)=Y $, dalla definizione di funzione ( ad ogni $ x\inS $ è associato un solo $ YinP(S) $ ), segue: $ EEY'inP(S),x\inY':Y'!=Y=f(x) $...
"_GaS_":Perché?
...Ovvero in base a questo criterio $ Y' $ non è associato...
"_GaS_":Perché?
...se $ xnotinY^^f(x)=Y $ allora $ EEY'inP(S),x\inY':Y'!=Y=f(x) $.
Ovvero $ x $ non può più essere collegato ad un sottoinsieme ( elemento di $ P(S) $ ) che lo contiene...
Vediamo come usare l'argomento diagonale di Cantor.
Per mia comodità associo \(\displaystyle \wp(S) \) all’insieme delle funzioni da \(\displaystyle S \) in \(\displaystyle \{-1, +1\} \) (di fatto associo \(\displaystyle \wp(S) \) con l'insieme delle funzioni indicatrici).
Sia quindi \(\displaystyle f_s \) l'immagine di \(\displaystyle s \) in \(\displaystyle \wp(S) \) tramite la funzione \(\displaystyle f \) e sia \(\displaystyle f_s(a) \) il suo valore in \(\displaystyle a \).
Sia quindi \(\displaystyle f \) una funzione da \(\displaystyle S \) in \(\displaystyle \wp(S) \). Definisco un elemento \(\displaystyle g\in \wp(S)\) come \(\displaystyle g(a) = -f_a(a) \). Per definizione \(\displaystyle g\neq f_s \) per ogni \(\displaystyle s \) e quindi non appartiene all'immagine \(f(S)\) di \(S\) in \(\displaystyle \wp(S) \).
Detto in termini insiemistici \(a\in g\) se e solo se non appartiene a \(f_a\).
Per mia comodità associo \(\displaystyle \wp(S) \) all’insieme delle funzioni da \(\displaystyle S \) in \(\displaystyle \{-1, +1\} \) (di fatto associo \(\displaystyle \wp(S) \) con l'insieme delle funzioni indicatrici).
Sia quindi \(\displaystyle f_s \) l'immagine di \(\displaystyle s \) in \(\displaystyle \wp(S) \) tramite la funzione \(\displaystyle f \) e sia \(\displaystyle f_s(a) \) il suo valore in \(\displaystyle a \).
Sia quindi \(\displaystyle f \) una funzione da \(\displaystyle S \) in \(\displaystyle \wp(S) \). Definisco un elemento \(\displaystyle g\in \wp(S)\) come \(\displaystyle g(a) = -f_a(a) \). Per definizione \(\displaystyle g\neq f_s \) per ogni \(\displaystyle s \) e quindi non appartiene all'immagine \(f(S)\) di \(S\) in \(\displaystyle \wp(S) \).
Detto in termini insiemistici \(a\in g\) se e solo se non appartiene a \(f_a\).
Per assurdo esiste una biezione $ f:StoP(S) $, e sia $ U= {s\inS, s\notin f(s)} $. $ U $ è sottoinsieme di $ S $ e poichè l'applicazione è suriettiva esiste $ x\inS $ tale che $ U=f(x) $. Ora, o $ x\inU $ o $ x\notinU $. Entrambi i casi sono banalmente assurdi.
Probabilmente così l'idea è più raffinata.
C'è solo un errore di notazione nel senso che la cardinalità di $ RR $ è uguale alla cardinalità di $ P(NN) $.
Probabilmente così l'idea è più raffinata.
"_GaS_":
Se $ S $ è un insieme qualunque, dimostrare che è impossibile trovare un'applicazione di $ S $ su $ P(S) $.
Ovvero la funzione non può essere surgettiva.
PREMESSA: l'esercizio possiede una stella, quindi è considerato difficile. Volendo, l'esercizio è collegato ai lavori di Cantor dei quali studiai qualcosa un bel po' di tempo fa ( $ RR=P(NN) $ ha potenza maggiore di $ NN $ e altro ). Tuttavia il testo non introduce nemmeno la cardinalità di un insieme, quindi non dovrebbe essere necessario scomodare Cantor, ma dovrebbe essere risolvibile in altro modo. Non andrò a rivedere quegli studi, al momento.
Suddividerò la soluzione in due fasi: una per gli insiemi finiti e l'altra per quelli infiniti, anche se l'ultima è generica; nonostante questo ritengo che i primi siano un interessante caso.
A - Insiemi finiti:
$ S={x_1,...,x_n} $. Sia: $ f:StoP(S) $.
Per la definizione di funzione ad ogni elemento di $ S $ può essere associato un solo elemento di $ P(S) $. Quindi al più sono associati $ n $ elementi di $ P(S) $, ma questo contiene $ 2^n(>n) $ elementi, pertanto $ f $ non è surgettiva.
B - Insiemi infiniti:
Sia $ f:StoP(S) $ surgettiva ( lo ammettiamo per assurdo ).
Allora $ AAYinP(S),EEx\inS:f(x)=Y $.
Se $ x\inY^^f(x)=Y $, dalla definizione di funzione ( ad ogni $ x\inS $ è associato un solo $ YinP(S) $ ), segue:
$ EEY'inP(S),x\inY':Y'!=Y=f(x) $.
Ovvero in base a questo criterio $ Y' $ non è associato.
Viceversa, se $ xnotinY^^f(x)=Y $ allora $ EEY'inP(S),x\inY':Y'!=Y=f(x) $.
Ovvero $ x $ non può più essere collegato ad un sottoinsieme ( elemento di $ P(S) $ ) che lo contiene.
Quindi la funzione non può essere surgettiva, perché si trova almeno un elemento di $ P(S) $ non collegabile, in ogni caso.
Per ora metto la soluzione così, magari avrà bisogno di essere raffinata, ma quello che mi interessa è l'idea chiave. Voglio insistere con questo procedimento.
"j18eos":Veramente si dimostra che \(\displaystyle\mathbb{R}\) è un insieme più che numerabile, e utilizzando l'ipotesi del continuo si dimostra che \(\displaystyle\mathbb{R}\) ha la potenza del continuo.[/quote][/quote]
[quote="_GaS_"]...$ RR=P(NN) $...
C'è solo un errore di notazione nel senso che la cardinalità di $ RR $ è uguale alla cardinalità di $ P(NN) $.
La stessa dimostrazione che conosco anch'io; però vorrei capire se _GaS_ ci è andato vicino alla soluzione.
Grazie a tutti, scusate se rispondo ora.
@vict85: il mio obiettivo non era usare Cantor, ma ti ringrazio lo stesso, sia per il tempo dedicatomi che per l'utilità futura: mi tornerà utile quando ripasserò Cantor ( anche se al momento non mi è troppo chiara ).
Questa volta sarò più dettagliato. Perdonate eventuali errori di formalizzazione, essa è una mia piaga.
Ciò che è alla radice di qualsiasi applicazione di un insieme al suo insieme delle parti, è l'appartenenza o meno di un elemento dell'insieme ad un suo sottoinsieme, ovvero quello che nell'insieme delle parti è un elemento.
L'assioma della scelta è stato utilizzato.
Due casi particolari, ma non troppo.
- Sia: $f:AtoP(A),xtoY$.
Se $x\inY^^Y=f(x)$, dalla definizione di funzione ( ad ogni $x\inA$ è associato un solo $YinP(A): EE!YinP(A):Y=f(x),x\inA$ ):
$EEY'inP(A),x\inY':Y'!=Y=f(x)$.
Consideriamo la famiglia di tutti i sottoinsiemi di $A$ che contengono $x$: $F_x={Y_x:x\inY_x}$.
Consideriamo due famiglie: $F_a={Y_a:x\inY_a},F_b={Y_b:x\inY_b}$.
Dobbiamo considerare le eventuali intersezioni. Però:
$Y_ainF_a^^Y_ainF_bLeftrightarrowa,binY_b$. ( Ovviamente $ainY_a$ ).
$EEY_ainF_a:ainY_a,bnotinY_a$. In quanto: $Y_asubeA^^Y_ainP(A)$.
Se $f(a)=Y_a:a,binY_a$ e $f(b)=Y_b,anotinY_b,binY_b$.
( Estendendo questo a più elementi, la caratteristica si potenzia ).
Quindi: $EEY':ainY',bnotinY',Y'notinf(A)$.
Ovvero $Y'$ non può essere collegato.
- Sia: $f:AtoP(A),xtoY$.
$xnotinY$. Ovvero $x$ è collegato ad un sottoinsieme del suo complemento.
Analogamente a prima si arriva a: se $f(a)=Y_a:a,bnotinY_a$ e $f(b)=Y_b,ainY_b,bnotinY_b$, allora:
$EEY':anotinY',binY',Y'notinf(A)$.
- Caso generico:
Sia $f:AtoP(A),xtoY$.
$f(x)=Y,x\inYvvf(y)=Y',ynotinY'$.
Dunque $EEZinP(A):x\inZ,ynotinZ,Znotinf(A)$.
Infatti siano: $Y_1=Y_2=Z$: $x\inY_1;ynotinY_2$.
Infatti applicando i risultati dei due casi particolari verrebbe da affermare che $EEY_1:x\inY_1,Y_1notinf(A);EEY_2:ynotinY_2,Y_2notinf(A)$, ma in teoria $Y_1$ ( l'altro caso è analogo ) potrebbe venire come insieme uguale ad uno di quelli che risultano come sottoinsieme del complemento, già collegati. Ma grazie a $Z$ questo problema è risolto.
$f$ non può essere surgettiva, in questo caso.
@vict85: il mio obiettivo non era usare Cantor, ma ti ringrazio lo stesso, sia per il tempo dedicatomi che per l'utilità futura: mi tornerà utile quando ripasserò Cantor ( anche se al momento non mi è troppo chiara ).
Questa volta sarò più dettagliato. Perdonate eventuali errori di formalizzazione, essa è una mia piaga.
Ciò che è alla radice di qualsiasi applicazione di un insieme al suo insieme delle parti, è l'appartenenza o meno di un elemento dell'insieme ad un suo sottoinsieme, ovvero quello che nell'insieme delle parti è un elemento.
L'assioma della scelta è stato utilizzato.
Due casi particolari, ma non troppo.
- Sia: $f:AtoP(A),xtoY$.
Se $x\inY^^Y=f(x)$, dalla definizione di funzione ( ad ogni $x\inA$ è associato un solo $YinP(A): EE!YinP(A):Y=f(x),x\inA$ ):
$EEY'inP(A),x\inY':Y'!=Y=f(x)$.
Consideriamo la famiglia di tutti i sottoinsiemi di $A$ che contengono $x$: $F_x={Y_x:x\inY_x}$.
Consideriamo due famiglie: $F_a={Y_a:x\inY_a},F_b={Y_b:x\inY_b}$.
Dobbiamo considerare le eventuali intersezioni. Però:
$Y_ainF_a^^Y_ainF_bLeftrightarrowa,binY_b$. ( Ovviamente $ainY_a$ ).
$EEY_ainF_a:ainY_a,bnotinY_a$. In quanto: $Y_asubeA^^Y_ainP(A)$.
Se $f(a)=Y_a:a,binY_a$ e $f(b)=Y_b,anotinY_b,binY_b$.
( Estendendo questo a più elementi, la caratteristica si potenzia ).
Quindi: $EEY':ainY',bnotinY',Y'notinf(A)$.
Ovvero $Y'$ non può essere collegato.
- Sia: $f:AtoP(A),xtoY$.
$xnotinY$. Ovvero $x$ è collegato ad un sottoinsieme del suo complemento.
Analogamente a prima si arriva a: se $f(a)=Y_a:a,bnotinY_a$ e $f(b)=Y_b,ainY_b,bnotinY_b$, allora:
$EEY':anotinY',binY',Y'notinf(A)$.
- Caso generico:
Sia $f:AtoP(A),xtoY$.
$f(x)=Y,x\inYvvf(y)=Y',ynotinY'$.
Dunque $EEZinP(A):x\inZ,ynotinZ,Znotinf(A)$.
Infatti siano: $Y_1=Y_2=Z$: $x\inY_1;ynotinY_2$.
Infatti applicando i risultati dei due casi particolari verrebbe da affermare che $EEY_1:x\inY_1,Y_1notinf(A);EEY_2:ynotinY_2,Y_2notinf(A)$, ma in teoria $Y_1$ ( l'altro caso è analogo ) potrebbe venire come insieme uguale ad uno di quelli che risultano come sottoinsieme del complemento, già collegati. Ma grazie a $Z$ questo problema è risolto.
$f$ non può essere surgettiva, in questo caso.
"_GaS_":What do you mean?
...Se gli elementi di $ F_a $ non avessero nulla in comune con quelli di $ F_b $ ( ovvero: $ Y_annY_b=varphi,AAY_ainF_a,AAY_binF_b $ ) non ci sarebbe problema: collegato uno per famiglia, rimarrebbero, in ogni famiglia, elementi non collegati, in quanto questi non potrebbero essere collegati ad elementi che non li appartengono, per il criterio...
Premetto che quello nello spoiler è un'appendice, non è importante.
Il criterio è il tipo di funzione imposta ( il primo caso particolare ): la caratteristica di associare un elemento ad un sottoinsieme che contiene quell'elemento.
Per '' collegare '' intendo '' associare '': un elemento di $A$ è collegato, associato ad un elemento di $P(A)$.
Proprio questo intendevo.
Il criterio è il tipo di funzione imposta ( il primo caso particolare ): la caratteristica di associare un elemento ad un sottoinsieme che contiene quell'elemento.
Per '' collegare '' intendo '' associare '': un elemento di $A$ è collegato, associato ad un elemento di $P(A)$.
Proprio questo intendevo.
...cosa sarebbe il criterio?
Il criterio è quello che ho imposto sulla funzione: essa deve avere la caratteristica che ad ogni elemento di $A$ venga associato un elemento di $P(A)$, in modo che tale elemento sia un sottoinsieme di $A$ ( questo è ovvio, proprio perché appartenete all'insieme delle parti ) contenente quell'elemento di $A$. Ad esempio si può collegare $x$ a ${x,y}$, ma non $x$ a ${y,w}$. L'altro caso particolare, invece, riguarda l'associazione di ogni elemento di $A$ ad un elemento di $P(A)$ che è un sottoinsieme del complemento dell'elemento in $A$. In questo caso, ad esempio, posso collegare $x$ a ${y,w}$, ma non $x$ a ${x,y}$.
Questi sono i casi particolari, mentre alla fine abbiamo quello generico.
E io lo sapevo! (Totò?)
Ci sono due grossi errori, però il secondo te lo perdono
il II errore è che così definisci una funzione di scelta, la cui esistenza (per gli insiemi infiniti, caso di cui ti stai occupando) è subordinata all'accettazione dell'assioma della scelta (AC); (questo te lo perdono
)
il I errore e che così riduci la dimostrazione a un caso particolare di funzione...
Ci sono due grossi errori, però il secondo te lo perdono
il II errore è che così definisci una funzione di scelta, la cui esistenza (per gli insiemi infiniti, caso di cui ti stai occupando) è subordinata all'accettazione dell'assioma della scelta (AC); (questo te lo perdono
)il I errore e che così riduci la dimostrazione a un caso particolare di funzione...
il II errore è che così definisci una funzione di scelta, la cui esistenza (per gli insiemi infiniti, caso di cui ti stai occupando) è subordinata all'accettazione dell'assioma della scelta (AC)
Ero consapevole dell'utilizzo dell'assioma della scelta.
Scusa, ma perché sarebbe un errore utilizzare l'assioma della scelta?
Non è stato ormai accettato?Non mi intendo di teoria degli insiemi avanzata, ma al decimo posto dell'elenco c'è l'assioma della scelta.
Se invece specifico che assumo valido l'assioma della scelta, non dovrebbe essere più un errore; anche se non mi aspettavo che andasse specificato. Attendo a modificare; nel caso lo scriverò all'inizio.
il I errore e che così riduci la dimostrazione a un caso particolare di funzione...
Non proprio. All'inizio un caso particolare, poi l'altro e alla fine ho messo quello generico. I due casi particolari mi sono serviti per l'ultimo.
Il fatto è che qualsiasi funzione che associ elementi di $A$ a $P(A)$ è caratterizzata dall'appartenenza o meno dell'elemento ad un sottoinsieme di $A$. Concerne tutti gli elementi, in ogni caso.
"_GaS_":Non è esatto: è stato dimostrato che AC non è dimostrabile a partire dagli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZF) e se lo si vuole includere tra gli assiomi si parla della teoria ZFC; diciamo che per educazione bisogna dire che si sta utilizzando AC.
...Non è stato ormai accettato? Non mi intendo di teoria degli insiemi avanzata, ma al decimo posto dell'elenco c'è l'assioma della scelta...
Cercherò domani di leggere qualcos'altro del tuo tentativo, ma non ti assicuro nulla!
Ok, non lo sapevo. Quando userò l'assioma della scelta cercherò di specificarlo, da ora in poi.
Modifiche al messaggio:
@j18eos: non preoccuparti, di fretta non ne ho.
Ovviamente rispondi se hai tempo e soprattutto voglia. Ovviamente sto procedendo anche con altro.
Modifiche al messaggio:
Cercherò domani di leggere qualcos'altro del tuo tentativo, ma non ti assicuro nulla!
@j18eos: non preoccuparti, di fretta non ne ho.
Ovviamente rispondi se hai tempo e soprattutto voglia. Ovviamente sto procedendo anche con altro.
"_GaS_":Basta scrivere \(\displaystyle f:A\to P(A)\) e \(\displaystyle x\in A,\,f(x)=Y\in P(A)\Rightarrow x\in Y\); così si capisce il tuo "criterio"!
...Sia: $f:AtoP(A),xtoY$.
Se $x\inY^^Y=f(x)$...
"_GaS_":Forse volevi scrivere \(\displaystyle a,b\in Y_a\)?
...$ Y_ainF_a^^Y_ainF_bLeftrightarrowa,binY_b $...
"_GaS_":Qui sbagli: perché \(\displaystyle Y'\) non può essere collegato?
...$ EEY_ainF_a:ainY_a,bnotinY_a $. In quanto: $ Y_asubeA^^Y_ainP(A) $.
Se $ f(a)=Y_a:a,binY_a $ e $ f(b)=Y_b,anotinY_b,binY_b $.
( Estendendo questo a più elementi, la caratteristica si potenzia ).
Quindi: $ EEY':ainY',bnotinY',Y'notinf(A) $.
Ovvero $ Y' $ non può essere collegato...
Grazie per la formalizzazione del criterio. 
Sì! Scusa, una svista. Comunque serve a far capire che essendo $Y_a$ un sottoinsieme di $A$ contenente $a$, non contiene necessariamente solo questo.
Perché $a$ e $b$ risultano associati e nonostante questo c'è un sottoinsieme ( ovvero elemento di $P(A)$ ) contenente $a$ non associato ( a $a$ o $b$ ). $a$ e $b$ sono elementi generici. Ciascun elemento '' si porta dietro '' la generazione di sottoinsiemi che lo contengono, e in tal modo il criterio può essere applicato. Considerando oltre a $a$ e $b$ infiniti elementi e prendendo da essi $c$, questo sarà collegato ad un sottoinsieme che lo contiene, diverso da $Y'$. Infatti all'obiezione che a $Y'$ può essere associato un altro elemento ( $c$ ), si può rispondere che essendo $Y'$ definito come un insieme che contiene $a$, ma non $b$, ci possono essere più insiemi con questa caratteristica ( esempio per intenderci: ${a,c},{a,c,e,f},...$ ) e il tale ( $Y'$ ) rimane escluso, in quanto ogni altro elemento è associato ad un sottoinsieme che lo contiene.
Esempio: $f(c)=Y_c:b,cinY_c$.
In sintesi ogni elemento di $A$ è associabile una sola volta, e per quanto riguarda i sottoinsiemi, aggiunge il proprio contributo.
Forse volevi scrivere \( \displaystyle a,b\in Y_a \)
Sì! Scusa, una svista. Comunque serve a far capire che essendo $Y_a$ un sottoinsieme di $A$ contenente $a$, non contiene necessariamente solo questo.
perché \( \displaystyle Y' \) non può essere collegato?
Perché $a$ e $b$ risultano associati e nonostante questo c'è un sottoinsieme ( ovvero elemento di $P(A)$ ) contenente $a$ non associato ( a $a$ o $b$ ). $a$ e $b$ sono elementi generici. Ciascun elemento '' si porta dietro '' la generazione di sottoinsiemi che lo contengono, e in tal modo il criterio può essere applicato. Considerando oltre a $a$ e $b$ infiniti elementi e prendendo da essi $c$, questo sarà collegato ad un sottoinsieme che lo contiene, diverso da $Y'$. Infatti all'obiezione che a $Y'$ può essere associato un altro elemento ( $c$ ), si può rispondere che essendo $Y'$ definito come un insieme che contiene $a$, ma non $b$, ci possono essere più insiemi con questa caratteristica ( esempio per intenderci: ${a,c},{a,c,e,f},...$ ) e il tale ( $Y'$ ) rimane escluso, in quanto ogni altro elemento è associato ad un sottoinsieme che lo contiene.
Esempio: $f(c)=Y_c:b,cinY_c$.
In sintesi ogni elemento di $A$ è associabile una sola volta, e per quanto riguarda i sottoinsiemi, aggiunge il proprio contributo.
"_GaS_":Per le funzioni di scelta (pure suriettive) questo non è vero!
...Ciascun elemento '' si porta dietro '' la generazione di sottoinsiemi che lo contengono, e in tal modo il criterio può essere applicato...
Ti rammento che \(\displaystyle F_a\cup F_b\subsetneqq P(A)\) e \(\displaystyle\{a,b\}\in F_a\cap F_b\).
Non ho capito bene l'ultimo messaggio... .
Perché? Per si '' porta dietro '' intendo che in $P(A)$ ci sono necessariamente tutti i sottoinsiemi che contengono quell'elemento ( ad esempio quel $c$ introdotto nel mio messaggio precedente a questo, può essere collegato a uno dei sottoinsiemi che lo contengono, infiniti nel caso di insiemi infiniti ). È una funzione di scelta, ma i sottoinsiemi esistono indipendentemente da questo. Poi, come un elemento viene associato, dipende dal criterio e questo dovrebbe portare a quello che avevo trovato.
Temo di non essermi spiegato bene.
Comunque mi sono dimenticato di scrivere che la funzione si ammette per ipotesi surgettiva ( era specificato nel messaggio d'apertura ), ma non è stato riportato nel messaggio in cui c'è il tentativo.
Per le funzioni di scelta (pure suriettive) questo non è vero!
Perché? Per si '' porta dietro '' intendo che in $P(A)$ ci sono necessariamente tutti i sottoinsiemi che contengono quell'elemento ( ad esempio quel $c$ introdotto nel mio messaggio precedente a questo, può essere collegato a uno dei sottoinsiemi che lo contengono, infiniti nel caso di insiemi infiniti ). È una funzione di scelta, ma i sottoinsiemi esistono indipendentemente da questo. Poi, come un elemento viene associato, dipende dal criterio e questo dovrebbe portare a quello che avevo trovato.
Temo di non essermi spiegato bene.
Comunque mi sono dimenticato di scrivere che la funzione si ammette per ipotesi surgettiva ( era specificato nel messaggio d'apertura ), ma non è stato riportato nel messaggio in cui c'è il tentativo.
"_GaS_":Ho colorato di rosso le forzature del ragionamento e in blu la parte in cui ti ostini ad affermare che \(\displaystyle Y'\) è aprioristicamente non associato od addirittura non associabile!
...Perché $ a $ e $ b $ risultano associati e nonostante questo c'è un sottoinsieme ( ovvero elemento di $ P(A) $ ) contenente $ a $ non associato ( a $ a $ o $ b $ ). $ a $ e $ b $ sono elementi generici. Ciascun elemento '' si porta dietro '' la generazione di sottoinsiemi che lo contengono, e in tal modo il criterio può essere applicato. Considerando oltre a $ a $ e $ b $ infiniti elementi e prendendo da essi $ c $, questo sarà collegato ad un sottoinsieme che lo contiene, diverso da $ Y' $. Infatti all'obiezione che a $ Y' $ può essere associato un altro elemento ( $ c $ ), si può rispondere che essendo $ Y' $ definito come un insieme che contiene $ a $, ma non $ b $, ci possono essere più insiemi con questa caratteristica ( esempio per intenderci: $ {a,c},{a,c,e,f},... $ ) e il tale ( $ Y' $ ) rimane escluso, in quanto ogni altro elemento è associato ad un sottoinsieme che lo contiene...
Una funzione di scelta impone solo che a \(\displaystyle x\) sia associato un insieme che lo contenga e nulla più!
Quindi stai dicendo che non ho dimostrato che non può essere surgettiva, ma ho dimostrato che è possibile non associare almeno un elemento di $P(A)$ ( cioè rimane fuori )?
Questo mi sembra di aver capito.
Questo mi sembra di aver capito.
Al più hai dimostrato che esiste \(\displaystyle Y'\) tale che \(\displaystyle\{a,b\}\not\subseteq Y'\), ma non puoi escludere che \(\displaystyle\exists c\in Y'\mid f(c)=Y'\)!
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