Insieme delle Parti - Esercizi 1.1.16 e 1.1.17
Eccco altri esercizi (ci stiamo evolvendo piano piano
)
1.1.16
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$, risulta:
$S \subseteq T \Leftrightarrow P(S) \subseteq P(T)$.
1.1.17
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$, risulta:
$P(S \cap T) = P(S) \cap P(T)$.
Come al solito a presto per la risoluzione o eventuali richieste di aiuto

1.1.16
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$, risulta:
$S \subseteq T \Leftrightarrow P(S) \subseteq P(T)$.
1.1.17
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$, risulta:
$P(S \cap T) = P(S) \cap P(T)$.
Come al solito a presto per la risoluzione o eventuali richieste di aiuto

Risposte
Risolviamo 1.1.16
1.1.16
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$ risulta
$S \subseteq T \Leftrightarrow P(S) \subseteq P(T)$
$\Rightarrow$
Ipotesi: $S \subseteq T$
Tesi: $P(S) \subseteq P(T)$
Sia $X \in P(S) \Rightarrow X \subseteq S$ e poichè $S \subseteq T \Rightarrow X \subseteq T \Rightarrow X \in P(T)$.
$\Leftarrow$
Ipotesi: $P(S) \subseteq P(T)$
Tesi: $S \subseteq T$
Sia $x \in S \Rightarrow {x} \subseteq S \Rightarrow {x} \in P(S)$ e poichè $P(S) \subseteq P(T) \Rightarrow {x} \in P(T) \Rightarrow x \in T$.
Dovrebbe essere corretto, datemi una controllatina se potete, grazie
1.1.16
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$ e $T$ risulta
$S \subseteq T \Leftrightarrow P(S) \subseteq P(T)$
$\Rightarrow$
Ipotesi: $S \subseteq T$
Tesi: $P(S) \subseteq P(T)$
Sia $X \in P(S) \Rightarrow X \subseteq S$ e poichè $S \subseteq T \Rightarrow X \subseteq T \Rightarrow X \in P(T)$.
$\Leftarrow$
Ipotesi: $P(S) \subseteq P(T)$
Tesi: $S \subseteq T$
Sia $x \in S \Rightarrow {x} \subseteq S \Rightarrow {x} \in P(S)$ e poichè $P(S) \subseteq P(T) \Rightarrow {x} \in P(T) \Rightarrow x \in T$.
Dovrebbe essere corretto, datemi una controllatina se potete, grazie

1.1.16
$S \subseteq T \Leftrightarrow P(S) \subseteq P(T)$
Dim.
"freccia in là"
$S \subseteq T \Rightarrow P(S) \subseteq P(T)$
$S \subseteq T \Rightarrow (A \subseteq S \Rightarrow A \subseteq T)$ [perché "$\subseteq$" è transitiva] e quindi $(A \in P(S) \Rightarrow A \in P(T))$
"freccia in qua"
bella!
$P(S) \subseteq P(T)$, visto che $S \in P(S)$, implica che $S \in P(T)$ e quindi $S \subseteq T$ per def di $P(T)$
ciao
PS: ma dai, passa a qualcosa di più tosto!
'ste cose si imparano e si rafforzano anche facendo altre cose
$S \subseteq T \Leftrightarrow P(S) \subseteq P(T)$
Dim.
"freccia in là"
$S \subseteq T \Rightarrow P(S) \subseteq P(T)$
$S \subseteq T \Rightarrow (A \subseteq S \Rightarrow A \subseteq T)$ [perché "$\subseteq$" è transitiva] e quindi $(A \in P(S) \Rightarrow A \in P(T))$
"freccia in qua"

bella!
$P(S) \subseteq P(T)$, visto che $S \in P(S)$, implica che $S \in P(T)$ e quindi $S \subseteq T$ per def di $P(T)$
ciao
PS: ma dai, passa a qualcosa di più tosto!
'ste cose si imparano e si rafforzano anche facendo altre cose
oops!
sono arrivato 2
sono arrivato 2
Risolviamo 1.1.17
1.1.17
Provare che, qualunque siano $S$ e $T$, risulta
$P(S \cap T) = P(S) \cap P(T)$
$\subseteq$: $P(S \cap T) \subseteq P(S) \cap P(T)$
Sia $X \in P(S \cap T) \Rightarrow S \cap T \Rightarrow X \subseteq S$ e $X \subseteq T \Rightarrow X \in P(S)$ e $X \in P(T) \Rightarrow X \in P(S) \cap P(T)$.
$\supseteq$: $P(S) \cap P(T) \subseteq P(S \cap T)$
Sia $X \in P(S) \cap P(T) \Rightarrow X \in P(S)$ e $X \in P(T) \Rightarrow X \subseteq S$ e $X \subseteq T \Rightarrow X \subseteq S \cap T \Rightarrow X \in P(S \cap T)$
Edito per correggere la risposta
1.1.17
Provare che, qualunque siano $S$ e $T$, risulta
$P(S \cap T) = P(S) \cap P(T)$
$\subseteq$: $P(S \cap T) \subseteq P(S) \cap P(T)$
Sia $X \in P(S \cap T) \Rightarrow S \cap T \Rightarrow X \subseteq S$ e $X \subseteq T \Rightarrow X \in P(S)$ e $X \in P(T) \Rightarrow X \in P(S) \cap P(T)$.
$\supseteq$: $P(S) \cap P(T) \subseteq P(S \cap T)$
Sia $X \in P(S) \cap P(T) \Rightarrow X \in P(S)$ e $X \in P(T) \Rightarrow X \subseteq S$ e $X \subseteq T \Rightarrow X \subseteq S \cap T \Rightarrow X \in P(S \cap T)$
Edito per correggere la risposta

[mode bimbo on]
ahah Fioravante sono arrivato prima iooo prima ioooo gne gne gne
[mode bimbo off]
Grazie per i tuoi suggerimenti comunque, faccio ancora un po' questi anche perchè poi piano piano diventano sempre piu' difficili anche se a volte mi sorprendo di come riesco a risolverli.
Prima di iniziare (1 mese fa circa) ero convinto di non capirci proprio niente
ahah Fioravante sono arrivato prima iooo prima ioooo gne gne gne

[mode bimbo off]
Grazie per i tuoi suggerimenti comunque, faccio ancora un po' questi anche perchè poi piano piano diventano sempre piu' difficili anche se a volte mi sorprendo di come riesco a risolverli.
Prima di iniziare (1 mese fa circa) ero convinto di non capirci proprio niente
