Insieme delle parti
Buonasera a tutti
C'è una proprietà dei cardinali che non riesco a dimostrare (non so neanche se sia vera). La proprietà è:
Se \(\displaystyle |A|<|B| \) allora \(\displaystyle 2^{|A|}<2^{|B|} \).
Qualcuno mi può aiutare? Grazie a tutti!
C'è una proprietà dei cardinali che non riesco a dimostrare (non so neanche se sia vera). La proprietà è:
Se \(\displaystyle |A|<|B| \) allora \(\displaystyle 2^{|A|}<2^{|B|} \).
Qualcuno mi può aiutare? Grazie a tutti!
Risposte
Se assumi l'assioma della scelta, una funzione iniettiva $A\to B$ induce una funzione suriettiva \(2^B=\mathbf{Set}(B,2)\to \mathbf{Set}(A,2)=2^A\) che deve avere una inversa destra, giocoforza iniettiva $2^A\to 2^B$.
Senza assioma della scelta, credo tu stia semplicemente usando questo fatto: se \(f\colon A\to B\) e' iniettiva, allora la funzione \(f_* \colon 2^A \to 2^B\) indotta da $f$ tra gli insiemi delle parti, che manda $U\subset A$ in $fU\subset B$ e' iniettiva anche lei: se $fU = fV$ come sottoinsiemi di $B$, allora per ogni $f(u)\in fU$ esiste un $v\in V$ tale che $f(u) = f(v)$; d'altra parte siccome $f$ e' iniettiva, deve essere $u=v$ e allora $U=V$.
Senza assioma della scelta, credo tu stia semplicemente usando questo fatto: se \(f\colon A\to B\) e' iniettiva, allora la funzione \(f_* \colon 2^A \to 2^B\) indotta da $f$ tra gli insiemi delle parti, che manda $U\subset A$ in $fU\subset B$ e' iniettiva anche lei: se $fU = fV$ come sottoinsiemi di $B$, allora per ogni $f(u)\in fU$ esiste un $v\in V$ tale che $f(u) = f(v)$; d'altra parte siccome $f$ e' iniettiva, deve essere $u=v$ e allora $U=V$.
"killing_buddha":
Se assumi l'assioma della scelta, una funzione iniettiva $A\to B$ induce una funzione suriettiva \(2^B=\mathbf{Set}(B,2)\to \mathbf{Set}(A,2)=2^A\) che deve avere una inversa destra, giocoforza iniettiva $2^A\to 2^B$.
Senza assioma della scelta, credo tu stia semplicemente usando questo fatto: se \(f\colon A\to B\) e' iniettiva, allora la funzione \(f_* \colon 2^A \to 2^B\) indotta da $f$ tra gli insiemi delle parti, che manda $U\subset A$ in $fU\subset B$ e' iniettiva anche lei: se $fU = fV$ come sottoinsiemi di $B$, allora per ogni $f(u)\in fU$ esiste un $v\in V$ tale che $f(u) = f(v)$; d'altra parte siccome $f$ e' iniettiva, deve essere $u=v$ e allora $U=V$.
Si però così dimostriamo che \(\displaystyle 2^{|A|}\leq 2^{|B|} \) e non che sono diversi, sbaglio? è proprio la dimostrazione del fatto che siano diversi che mi blocca (sempre che sia vero)
Con una sapiente mistura di assioma della scelta e ipotesi generalizzata del continuo, puoi dire che se \(A= \aleph_\alpha\) e \(B=\aleph_\beta\), dove \(\alpha < \beta\), abbiamo \(2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}\) e \(2^{\aleph_\beta}=\aleph_{\beta+1}\); dato che ora per ipotesi $\alpha < \beta$, anche $\alpha+1 < \beta + 1$, quindi i due cardinali sono diversi.
Cio' taglia fuori gli insiemi finiti, dove la tesi e' ovviamente vera.
Cio' taglia fuori gli insiemi finiti, dove la tesi e' ovviamente vera.
"killing_buddha":
Con una sapiente mistura di assioma della scelta e ipotesi generalizzata del continuo, puoi dire che se \( A= \aleph_\alpha \) e \( B=\aleph_\beta \), dove \( \alpha < \beta \), abbiamo \( 2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1} \) e \( 2^{\aleph_\beta}=\aleph_{\beta+1} \); dato che ora per ipotesi $ \alpha < \beta $, anche $ \alpha+1 < \beta + 1 $, quindi i due cardinali sono diversi.
Cio' taglia fuori gli insiemi finiti, dove la tesi e' ovviamente vera.
Quindi senza CH non ci riesco? Ossia è indecidibile?
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