Insieme delle applicazioni

[Pasquale 90]

Buonasera, volevo porvi un mio dubbio nato dalla lettura riguardante un esempio di spazi vettoriale, in particolare $K$ campo, $S$ insieme qualunque, risulta:
$K^S={f\|\ f:K to S}$ sempre diverso dall'insieme vuoto.
Sul libro viene osservato che qualora $S$ fosse vuoto anche in questo caso $K^S ne emptyset$, in tal caso come è fatta quest'applicazione ?
Ipotizzando dovrebbe esistere un'applicazione $bar{f}:x in emptyset \ to \ x_emptyset in K$, chi è $x_emptyset$?
Ciao

[solaàl]

Semmai, \(K^S = \{f : S \to K\}\).

Se S è vuoto, \(K^S\) ha un unico elemento. Quell'unico elemento è l'unico vettore (lo zero) di \(K^S\).

[G.D.5]

Non serve identificare \( x_{\varnothing} \).
Se \( S = \varnothing \) allora l'unica applicazione di \( S \) in \( K \) è \( \varnothing \), sicché \( K^{S} = \{ \varnothing \} \), che è quindi non vuoto.

[Pasquale 90]

Ciao G.D.
$emptyset$ che applicazione è ? Sono un pò confuso scusami, con $emptyset$ indico l'insieme vuoto cioè l'insieme privo di elementi.

[gugo82]

Cos'è una funzione?
Beh, è un sottoinsieme $f$ del prodotto cartesiano $S xx mathbb(K)$ che gode di una fondamentale proprietà:

[*:thegdnr0] per ogni $s in S$ esiste un unico $k in mathbb(K)$ tale che $(s,k) in f$[/*:m:thegdnr0][/list:u:thegdnr0]

(l'elemento $k$ è quello che usualmente si denota con $f(s)$, ovviamente).

Converrai con me che $f=\emptyset$ soddisfa la proprietà di cui sopra, quindi è una funzione.

[Pasquale 90]

Si grazie gugo82 mi sei stato di aiuto