Insieme ben ordinato di funzioni tra buoni ordini

[Megan00b]

Non riesco a risolvere questo esercizio:
Se A,B insiemi totalmente ordinati allora:
1) Se A è ben ordinato allora $B^A$ è totalmente ordinato con l'ordinamento:
$f 2) Se anche B è ben ordinato allora $B^A$ è ben ordinato.

Il punto 1 l'ho fatto. Per il punto 2 ho tentato varie strade. Quella che mi sembrava più probabile è:
negando la tesi supporre che $B^A$ non sia ben ordinato quindi possa contenere una catena discendente (di funzioni). Da questa catena costruire una catena discendente di elementi di B (avevo pensato a lavorare con le immagini di queste funzioni) e dunque avere un assurdo. Tuttavia con questo ragionamento ho dimostrato solo che l'insieme delle funzioni non crescenti da A a B è ben ordinato e non riesco ad estenderlo a tutto l'insieme $B^A$.
Suggerimenti?
Inoltre mi chiedevo: è vera l'implicazione inversa in almeno uno dei due punti?
Grazie.

[fields1]

Cos'e' $a=min{f!=g}$? Se intendi $a=min\{x|f(x)!=g(x)\}$, allora stai cercando di dimostrare qualcosa di falso.

Poni infatti $A=NN^+$, $B=NN$.

Definisci, per ciascun $i\in NN^+$, una funzione $f_i:NN^+ -> NN$ tale che

$f_i(n)=n$, se $n>=i$
$f_i(n)=n-1$, altrimenti

Naturalmente $f_1>f_2>f_3>\cdots$

[Megan00b]

Ho capito. Non avevo minimamente pensato che il fatto fosse falso data che l'ha assegnato il prof a lezione per casa. Vuol dire che gli chiederò spiegazioni. Grazie.