Inseme delle parti non numerabile
Come si dimostra che l'insieme delle parti P di un insieme _infinito_ e _numerabile_ S non e' numerabile?
Risposte
io so che ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile....
si anch'io, ma questo dovrebbe aiutarmi?
ho letto male, come sempre.....
pensavo che tu avessi scritto una parte [sottoinsieme] di un insieme infinito....... non l'insieme delle parti......
bisognerebbe allora provare che non sia equipotente con l'insieme $NN$....
pensavo che tu avessi scritto una parte [sottoinsieme] di un insieme infinito....... non l'insieme delle parti......
bisognerebbe allora provare che non sia equipotente con l'insieme $NN$....
che nn lo sarà mai per il teorema di cantor......
giusto?
EDIT: non sarà mai equipotente a $NN$
giusto?
EDIT: non sarà mai equipotente a $NN$
Dovrebbe funzionare in questo modo se la domanda non mi trae in inganno...
Prendi un insieme come lo hai descritto tu, numerabile. Il suo insieme delle parti sarebbe numerabile se riuscissi a stabilire una biezione che collega i due insiemi... cioè uno non può essere molto più grande dell'altro, come ha detto Goldengirl devono essere equipotenti... ma questo non è possibile, perchè per ogni elemento del tuo insieme tu ne trovi infiniti nell'insieme delle parti...
dovrebbe funzionare così...
R
Prendi un insieme come lo hai descritto tu, numerabile. Il suo insieme delle parti sarebbe numerabile se riuscissi a stabilire una biezione che collega i due insiemi... cioè uno non può essere molto più grande dell'altro, come ha detto Goldengirl devono essere equipotenti... ma questo non è possibile, perchè per ogni elemento del tuo insieme tu ne trovi infiniti nell'insieme delle parti...
dovrebbe funzionare così...
R
goldengirl: la diagonale di Cantor dice che $RR$ non e' numerabile...forse si puo' trovare una biezione fra l'insieme delle parti ed $RR$...
Supponiamo per assurdo esista un biettività $f$ fra $S$ e $Parti(S)$. Sia $C$ l'insieme degli $x\in S$ tali che $x$ non appartiene a $f(x)$. Allora esiste $a\in S$ tale che $f(a)=C$. Ora se $a$ non appartiene a $C=f(a)$, allora per definizione $a$ appartiene a $C$, assurdo. Se invece $a$ appartiene a $C=f(a)$, allora per definizione $a$ non appartiene a $C$, assurdo.
"fields":
Supponiamo per assurdo esista un biettività $f$ fra $S$ e $Parti(S)$. Sia $C$ l'insieme degli $x\in S$ tali che $x$ non appartiene a $f(x)$. Allora esiste $a\in S$ tale che $f(a)=C$. Ora se $a$ non appartiene a $C=f(a)$, allora per definizione $a$ appartiene a $C$, assurdo. Se invece $a$ appartiene a $C=f(a)$, allora per definizione $a$ non appartiene a $C$, assurdo.
e questa è la dim del teorema di cantor.....
giusto, grazie fields
"goldengirl":
che nn lo sarà mai per il teorema di cantor......
giusto?
EDIT: non sarà mai equipotente a $NN$
scusa che ho detto?
boh....
pensavo che per teorema di cantor intendessi quello riferito a $RR$, mentre in effetti il "Teorema di Cantor" e' proprio questo. sbaglio mio
forse devo essere + esplicita la prossima volta......
cmq l'importante è che sia tutto risolto....
cmq l'importante è che sia tutto risolto....
Non capisco cosa vuole dire Ravok: ad esempio $NN$ è in bijezione con $QQ$ nonostante fra due interi qualunque ci siano infiniti razionali (e quindi è possibile costruire una mappa che ad ogni intero associa una famiglia infinita di razionali) ovvero, nel linguaggio di Ravok, ad ogni elemento del primo insieme corrispondono infiniti elementi del secondo.
Nota:
il teorema di Cantor si enuncia dicendo che $|X|<|P(X)|=|2^X|$. Per cui esso contiene in sè l'esercizio. Come hanno osservato fields e la ragazza dorata... (?!)
Nota:
il teorema di Cantor si enuncia dicendo che $|X|<|P(X)|=|2^X|$. Per cui esso contiene in sè l'esercizio. Come hanno osservato fields e la ragazza dorata... (?!)
enuncio qui il teorema di cantor:
Sia S un insieme non vuoto. Allora non esiste alcuna applicazione suriettiva di S in P(S). In particolare S e P(S) non sono equipotenti.
la dim di tale teorema è quella esposta da fields...
detto questo auguro a tutti una dolce notte!
Sia S un insieme non vuoto. Allora non esiste alcuna applicazione suriettiva di S in P(S). In particolare S e P(S) non sono equipotenti.
la dim di tale teorema è quella esposta da fields...
detto questo auguro a tutti una dolce notte!
"ubermensch":
Non capisco cosa vuole dire Ravok: ad esempio $NN$ è in bijezione con $QQ$ nonostante fra due interi qualunque ci siano infiniti razionali (e quindi è possibile costruire una mappa che ad ogni intero associa una famiglia infinita di razionali) ovvero, nel linguaggio di Ravok, ad ogni elemento del primo insieme corrispondono infiniti elementi del secondo.
Nota:
il teorema di Cantor si enuncia dicendo che $|X|<|P(X)|=|2^X|$. Per cui esso contiene in sè l'esercizio. Come hanno osservato fields e la ragazza dorata... (?!)
già, forse mi sono espresso male... cercavo di dire a parole quello che avete appena dimostrato...meglio che provo a dimostrare la prossima volta
grazie per la dritta ubermensch
R
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