Innocente curiosità (costruzione numeri reali)

[G.D.5]

Amici matematici, lo so che non ne avete più di pazienza a furia di vedere i miei post pubblicati sul forum con annesse le domande sciocche che pongo, ma è più forte di me, quindi....ecco per voi che sapete di matematica un'altra mia curiosità.

Ad Analisi 1 i numeri reali vengono presentati in maniera assiomatica, e fin quì tutto bene. Ci sono gli assiomi delle operazioni (somma e prodotto), gli assiomi dell'ordinamento, gli assiomi della compatibilità dell'ordinamento con le operazioni e l'assioma di completezza. Ma io ora mi domando: se anzicché presentare il campo reale in modo assiomatico uno si prendesse la briga di partire da zero, di costruire i naturali, poi gli interi relativi, poi i razionali e in fine i reali, di quegli assiomi (operazioni, ordinamento, compatibilità, completezza) quali continuerebbero ad essere assiomi e quali diverebbero proprietà da dimostrare?

A chiunque abbia pazienza e tempo per rispondere un grazie anticipato. [xdom="Martino"]Ho specificato il titolo.[/xdom]

[fu^2]

"WiZaRd":Amici matematici, lo so che non ne avete più di pazienza a furia di vedere i miei post pubblicati sul forum con annesse le domande sciocche che pongo, ma è più forte di me, quindi....ecco per voi che sapete di matematica un'altra mia curiosità.

Ad Analisi 1 i numeri reali vengono presentati in maniera assiomatica, e fin quì tutto bene. Ci sono gli assiomi delle operazioni (somma e prodotto), gli assiomi dell'ordinamento, gli assiomi della compatibilità dell'ordinamento con le operazioni e l'assioma di completezza. Ma io ora mi domando: se anzicché presentare il campo reale in modo assiomatico uno si prendesse la briga di partire da zero, di costruire i naturali, poi gli interi relativi, poi i razionali e in fine i reali, di quegli assiomi (operazioni, ordinamento, compatibilità, completezza) quali continuerebbero ad essere assiomi e quali diverebbero proprietà da dimostrare?

A chiunque abbia pazienza e tempo per rispondere un grazie anticipato.

beh tu parti a definire i naturali,
poi arrivi ai razionali come ampliamento per le operazioni
e su esso definisci i reali.
I reali li puoi definire come limite delle troncate ennesime dei razionali...

in questo modo le operazioni di campo le dimostri usando questa definizione, un pò più bella e operativa di quella puramente assiomatica.

[gugo82]

"WiZaRd":Amici matematici, lo so che non ne avete più di pazienza a furia di vedere i miei post pubblicati sul forum con annesse le domande sciocche che pongo, ma è più forte di me, quindi....ecco per voi che sapete di matematica un'altra mia curiosità.

Ad Analisi 1 i numeri reali vengono presentati in maniera assiomatica, e fin quì tutto bene. Ci sono gli assiomi delle operazioni (somma e prodotto), gli assiomi dell'ordinamento, gli assiomi della compatibilità dell'ordinamento con le operazioni e l'assioma di completezza. Ma io ora mi domando: se anzicché presentare il campo reale in modo assiomatico uno si prendesse la briga di partire da zero, di costruire i naturali, poi gli interi relativi, poi i razionali e in fine i reali, di quegli assiomi (operazioni, ordinamento, compatibilità, completezza) quali continuerebbero ad essere assiomi e quali diverebbero proprietà da dimostrare?

A chiunque abbia pazienza e tempo per rispondere un grazie anticipato.

Il mio corso di Analisi I è cominciato con la costruzione degli insiemi numerici a partire da $NN$ fino ad arrivare a $CC$. Bei tempi andati, quando i professori di Analisi potevano perdere tempo su quste cose!

Comunque, ecco in parole povere come si costruisce la catena $NNsubset ZZsubset QQsubset RRsubset CC$.

1) $NN$ si costruisce in modi diversi: puoi partire dalla funzione successore (alla Peano, ma con due soli assiomi), oppure dalla relazione d'ordine (un po' più difficile, visto che suppone noti alcuni fatti di Teoria degli Insiemi che si vedono nel corso di Algebra; per questo punto di vista, poco comune, puoi vedere Cafiero - Zitarosa, Lezioni di Analisi Matematica, vol. 1, Liguori); si prova che in $NN$ è possibile definire due operazioni, $+$ e $*$, con le usuali proprietà; provi l'esistenza di un ordinamento totale compatibile con le operazioni e provi che è buono (se hai definito $NN$ alla Peano, altrimenti il buon ordinamento ce l'hai per definizione).

2)L'insieme degli interi $ZZ$ si costruisce quozientando $NN^2$ con una relazione d'equivalenza; costruisci le operazioni usuali e l'ordine e poi provi che esse coincidono su $NN$ con quelle definite in precedenza; inoltre provi che $(ZZ,+,*)$ è un anello unitario.

3) L'insieme dei razionali $QQ$ si costruisce quozientando $ZZtimes (ZZ-{0})$ con una relazione d'equivalenza; anche qui costruisci le due operazioni e provi che esse prolungano le operazioni di $ZZ$ al nuovo insieme; provi che $(QQ,+,*)$ è un campo; introduci l'ordine e provi che $QQ$ è denso in sè; provi che $QQ$ non gode della proprietà di Dedekind (esistono sezioni di $QQ$ che non hanno numeri separatori).

4) L'insieme $RR$ lo costruisci considerando le sezioni di $QQ$; costruisci la struttura algebrica e provi che $(RR,+,*)$ è un campo in cui le operazioni sono prolungamenti di quelle definite in $QQ$; introduci l'ordine (per mezzo della relazione d'ordine $subseteq$ tra le parti di $QQ$) e provi che $QQ$ è denso in $RR$; provi la proprietà dell'estremo superiore, dell'estremo inferiore, le proprietà di Archimede, il Teorema di Cantor e molte altre sfizioserie.

5) L'insieme $CC$ si costruisce su $RR^2$ definendo le operazioni di somma e prodotto; provi che $(CC,+,*)$ è un campo e che le operazioni si $CC$ sono un prolungamento di quelle definite in $RR$; provi che non è possibile ordinare $CC$ compatibilmente con le due operazioni definite; provi che tutti i reali hanno almeno una radice d'indice pari in $CC$ ed altre sfizioserie.

Questa è una costruzione molto algebrica, nei passaggi 2),3),5), ed insiemistica, nel passaggio 4).
In particolare, la costruzione del campo reale a partire dai razionali si può fare usando un metodo più topologico: infatti si può definire una metrica su $QQ$; provare che non tutte le successioni di Cauchy convergono in quello spazio metrico; introdurre $RR$ come il più piccolo spazio metrico contenente $QQ$ in cui tutte le successioni di Cauchy risultino convergenti (in quest'ottica $RR$ è un quoziente dell'insieme delle successioni $QQ^(NN)$ fatto rispetto ad una relazione d'equivalenza).

Insomma per costruire tutto il castello ti basta supporre l'esistenza di un insieme non vuoto verificante due assiomi (cioè $NN$ costruito alla Peano). Minimale!

[Chevtchenko]

"gugo82":In particolare, la costruzione del campo reale a partire dai razionali si può fare usando un metodo più topologico: infatti si può definire una metrica su $QQ$; provare che non tutte le successioni di Cauchy convergono in quello spazio metrico; introdurre $RR$ come il più piccolo spazio metrico contenente $QQ$ in cui tutte le successioni di Cauchy risultino convergenti (in quest'ottica $RR$ è un quoziente dell'insieme delle successioni $QQ^(NN)$ fatto rispetto ad una relazione d'equivalenza).

Si noti però che per poter parlare di spazio metrico c'è bisogno di avere già a disposizione i reali.

[G.D.5]

Quindi l'unico assioma che resta assioma è quello della completezza?

[gugo82]

"WiZaRd":Quindi l'unico assioma che resta assioma è quello della completezza?

No, la completezza si dimostra nella costruzione che ti ho indicato io.
Visto che la provi usando il massimo e minimo limite per le successioni limitate, direi che è una conseguenza delle proprietà della relazione d'ordine, in particolare dell'esistenza degli estremi superiore ed inferiore per parti limitate di $RR$.

[G.D.5]

Capito. Grazie mille per tutto il tempo e la pazienza che mi avete dedicato.