Iniettare $Q_8$ in $S_7$
Salve, secondo voi è possibile costruire un monomorfismo: $\psi:Q_8\toS_7$?
Secondo me no.
L'idea è quella di considerare l'azione $Q_8\times \{1,..,7\}\to\{1,..,7\}$ data da $g\cdot n\:=\psi(g)(n)$ e per far vedere che il nucleo non è banale mostrare che $\forall n\in {1,..,7}$ $St(n)$ (lo stabilizzatore) contiene sempre uno stesso elemento non banale. Io vorrei far vedere che $-1\cdot n=n$ $\forall n\in \{1,..,7\}$, però non ci riesco.
Secondo me no.
L'idea è quella di considerare l'azione $Q_8\times \{1,..,7\}\to\{1,..,7\}$ data da $g\cdot n\:=\psi(g)(n)$ e per far vedere che il nucleo non è banale mostrare che $\forall n\in {1,..,7}$ $St(n)$ (lo stabilizzatore) contiene sempre uno stesso elemento non banale. Io vorrei far vedere che $-1\cdot n=n$ $\forall n\in \{1,..,7\}$, però non ci riesco.
Risposte
Ti scrivo per vaghi ricordi:
[list=1]
[*:kmdmbts4] \(\displaystyle Q_8\) ha una rappresentazione (permutazionale) regolare in \(\displaystyle\mathrm{Sym}4\);[/*:m:kmdmbts4]
[*:kmdmbts4] \(\displaystyle D_8\) (gruppo diedrale di ordine \(\displaystyle8\)) ha una rappresentazione regolare in \(\displaystyle\mathrm{Sym}8\);[/*:m:kmdmbts4][/list:o:kmdmbts4]
e di meglio non si può!
Sempre per ricordi: devi ragionare con l'intersezione dei sottogruppi normali massimali di \(\displaystyle Q_8\) (la quale è \(\displaystyle C_2\)) e l'azione per coniugio sul gruppo quoziente che ottieni (il quale è \(\displaystyle V_4\)), ovvero:
\[
\alpha:q\in Q_8\to(\gamma_q:[r]\in Q_8/C_2\to[qrq^{-1}]\in Q_8/C_2)\in\mathrm{Sym}4.
\]
[list=1]
[*:kmdmbts4] \(\displaystyle Q_8\) ha una rappresentazione (permutazionale) regolare in \(\displaystyle\mathrm{Sym}4\);[/*:m:kmdmbts4]
[*:kmdmbts4] \(\displaystyle D_8\) (gruppo diedrale di ordine \(\displaystyle8\)) ha una rappresentazione regolare in \(\displaystyle\mathrm{Sym}8\);[/*:m:kmdmbts4][/list:o:kmdmbts4]
e di meglio non si può!
Sempre per ricordi: devi ragionare con l'intersezione dei sottogruppi normali massimali di \(\displaystyle Q_8\) (la quale è \(\displaystyle C_2\)) e l'azione per coniugio sul gruppo quoziente che ottieni (il quale è \(\displaystyle V_4\)), ovvero:
\[
\alpha:q\in Q_8\to(\gamma_q:[r]\in Q_8/C_2\to[qrq^{-1}]\in Q_8/C_2)\in\mathrm{Sym}4.
\]
Ciao, cosa intendi per "$Q_8$ ha una rappresentazione (permutazionale) regolare in $Sym4$"?.
Intendi che esiste una mappa iniettiva da $Q_8$ ad $S_4$?
E come potrebbe essere fatta? Non riesco a costruirne nessuna, del resto se esistesse avrei risolto il mio problema, perché $S_4$ si può iniettare in $S_7$.
Intendi che esiste una mappa iniettiva da $Q_8$ ad $S_4$?
E come potrebbe essere fatta? Non riesco a costruirne nessuna, del resto se esistesse avrei risolto il mio problema, perché $S_4$ si può iniettare in $S_7$.
Per rappresentazione permutazionale od azione di un gruppo \(\displaystyle G\) su un insieme \(\displaystyle\Omega\) intendo un omomorfismo di gruppi \(\displaystyle\rho:G\to\mathrm{Sym}\Omega\); tale azione è regolare se è transitiva[nota]Definizione standard.[/nota] e semiregolare[nota]Lo stabilizzatore \(\displaystyle\mathrm{Stab}^{\alpha}_{G}(\cdot)\) di ogni elemento in \(\displaystyle\Omega\) è il gruppo identico \(\displaystyle\{e_G\}\).[/nota]
Nel mio precedente post:
[list=1]
[*:2gff4itv]\(\displaystyle G=Q_8\);[/*:m:2gff4itv]
[*:2gff4itv]\(\displaystyle\Omega=\{1;2;3;4\}\)[nota]Basta un insieme finito di \(\displaystyle4\) elementi![/nota];[/*:m:2gff4itv]
[*:2gff4itv]\(\displaystyle\rho=\alpha\).[/*:m:2gff4itv][/list:o:2gff4itv]
Nel mio precedente post:
[list=1]
[*:2gff4itv]\(\displaystyle G=Q_8\);[/*:m:2gff4itv]
[*:2gff4itv]\(\displaystyle\Omega=\{1;2;3;4\}\)[nota]Basta un insieme finito di \(\displaystyle4\) elementi![/nota];[/*:m:2gff4itv]
[*:2gff4itv]\(\displaystyle\rho=\alpha\).[/*:m:2gff4itv][/list:o:2gff4itv]
"UmbertoM":
Ciao, cosa intendi per "$Q_8$ ha una rappresentazione (permutazionale) regolare in $Sym4$"?.
Intendi che esiste una mappa iniettiva da $Q_8$ ad $S_4$?
Non ho capito neanche io che cosa vuol dire Armando, mi pare che ci si perda in definizioni e notazioni.
Comunque, l'unica cosa che posso dire è che $Q_8$ non si inietta dentro $S_4$, in altre parole, non esiste alcun sottogruppo di $S_4$ che è isomorfo a $Q_8$: infatti, supponi ci sia un sottogruppo $H$ di $S_4$ con \( H \sim Q_8\). Tenendo presente che ci sono sei elementi di ordine 4 in $Q_8$ si deduce che $H$ contiene tutti e sei i 4 cicli di $S_4$. Ora
\[
(ab)(cd) = (cbda)(acbd)
\]
(io compongo da destra verso sinistra), quindi $H$ contiene anche ad esempio $(12)(34)$ e $(13)(24)$. In totale, l'identità + sei 4-cicli + quei due elementi = 9 > 8, ed è fatta, assurdo.
Vedi un po' se questo ti torna; se ho tempo, più tardi penso al resto.
Ditemi se questo ragionamento, secondo voi, funziona:
Chiamiamo $X=\{1,2,...,7}$
Abbiamo il morfismo $\psi:Q_8\to S(X)=S_7$. Abbiamo un'azione indotta da questo morfismo:
$Q_8\times X\to X$ data da $g\cdot x=\psi(g)(x)$.
Allora $|X|=\sum_{i=1}^r|mathcalO(x_i)|=\sum_{i=1}^r\frac{|Q_8|}{|St(x_i)|}$. Ove $|mathcalO(x)|:={g\cdot x: g\in G}$.
Chiaramente non può essere che $|St(x_i)|=1$ altrimenti sforerei la cardinalità dell'insieme $X$, che è $7$. Quindi $\forall x \in X$ si ha che $St(x)\cap {-1,\pm i, \pm j, \pm k}\ne \emptyset$, quindi poiché $St(x)$ è un gruppo deve contenere $-1$ $\forall x\in X$, e quindi $\psi(-1)=id$. Il morfismo non può essere iniettivo.
Chiamiamo $X=\{1,2,...,7}$
Abbiamo il morfismo $\psi:Q_8\to S(X)=S_7$. Abbiamo un'azione indotta da questo morfismo:
$Q_8\times X\to X$ data da $g\cdot x=\psi(g)(x)$.
Allora $|X|=\sum_{i=1}^r|mathcalO(x_i)|=\sum_{i=1}^r\frac{|Q_8|}{|St(x_i)|}$. Ove $|mathcalO(x)|:={g\cdot x: g\in G}$.
Chiaramente non può essere che $|St(x_i)|=1$ altrimenti sforerei la cardinalità dell'insieme $X$, che è $7$. Quindi $\forall x \in X$ si ha che $St(x)\cap {-1,\pm i, \pm j, \pm k}\ne \emptyset$, quindi poiché $St(x)$ è un gruppo deve contenere $-1$ $\forall x\in X$, e quindi $\psi(-1)=id$. Il morfismo non può essere iniettivo.
Mi risulta corretto!
Tornando al mio tentativo: quell'omomorfismo (io preferisco chiamarlo rappresentazione permutazionale) \(\displaystyle\alpha\) non è iniettivo; infatti: \(\displaystyle\ker\alpha=\{1;-1\}\) come facilmente si vede.
Restando in tema di definizioni, mi limito a spiegare il perché del nome di rappresentazione permutazionale....
Come si può notare, non sempre è facile lavorare direttamente sui gruppi intesi come insieme di elementi su cui è definita una opportuna operazione interna; in astratto questa operazione interna può essere "complicata da compiersi", quindi si preferisci ragionare a meno di isomorfismi con gruppi più maneggevoli, l'esempio in questione è cercare di determinare un omomorfismo di gruppi iniettivo da un gruppo \(\displaystyle G\) in un gruppo di permutazioni \(\displaystyle\mathrm{Sym}\Omega\).
Il teorema di Cayley ci dice che ciò è sempre possibile scegliendo \(\displaystyle\Omega=|G|\); però volendo fare economia e lavorare in modo più agevole, si cerca di determinare un tale insieme \(\displaystyle\Omega\) quanto più piccolo possibile...
Questo dovrebbe far capire il perché ho scritto di rappresentazioni permutazionali: perché si cerca di "rappresentare" un gruppo come un gruppo di permutazioni!
Tornando al mio tentativo: quell'omomorfismo (io preferisco chiamarlo rappresentazione permutazionale) \(\displaystyle\alpha\) non è iniettivo; infatti: \(\displaystyle\ker\alpha=\{1;-1\}\) come facilmente si vede.
Restando in tema di definizioni, mi limito a spiegare il perché del nome di rappresentazione permutazionale....
Come si può notare, non sempre è facile lavorare direttamente sui gruppi intesi come insieme di elementi su cui è definita una opportuna operazione interna; in astratto questa operazione interna può essere "complicata da compiersi", quindi si preferisci ragionare a meno di isomorfismi con gruppi più maneggevoli, l'esempio in questione è cercare di determinare un omomorfismo di gruppi iniettivo da un gruppo \(\displaystyle G\) in un gruppo di permutazioni \(\displaystyle\mathrm{Sym}\Omega\).
Il teorema di Cayley ci dice che ciò è sempre possibile scegliendo \(\displaystyle\Omega=|G|\); però volendo fare economia e lavorare in modo più agevole, si cerca di determinare un tale insieme \(\displaystyle\Omega\) quanto più piccolo possibile...
Questo dovrebbe far capire il perché ho scritto di rappresentazioni permutazionali: perché si cerca di "rappresentare" un gruppo come un gruppo di permutazioni!
"j18eos":Ti posso chiedere cosa significa? Un omomorfismo iniettivo [tex]Q_8 \to S_4[/tex]? No non esiste.
[*] \(\displaystyle Q_8\) ha una rappresentazione (permutazionale) regolare in \(\displaystyle\mathrm{Sym}4\);
Avevo scritto per ricordi, poi se continui a leggere gli altri interventi...
Per le definizioni rimando a qui (pag. 3)!
Per le definizioni rimando a qui (pag. 3)!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo