Infiniti primi

[delca85]

Ragazzi come si dimostra che esistono infiniti numeri primi della forma $4n+3$?
Io inizio considerando le classi modulo 4,poi provo ad utilizzare la dimostrazione di Euclide dell'infinità dei numeri primi,ma non so come andare avanti..

[TomSawyer1]

Supponiamo per assurdo che esistano finiti primi $p_1,...,p_k$ tali che $p_i \equiv -1 (mod 4)$. Poniamo $n:=4p_1\cdots p_k-1$; quindi $n \equiv -1 (mod 4)$, ma i fattori primi di $n$ non possono essere tutti della forma $4j+1$, dunque ne esiste un altro della forma $4j+3$.

[delca85]

Grazie mille,ho capito bene la tua dimostrazione.L'unica cosa è che il nostro professore ci aveva suggerito di usare Euclide nella forma $p_1^2+...p_k^2+?$.Qualcuno ha idea di come fare?Please help me!!!

[delca85]

Posso dire $N:=p_1^2*...*p_k^2+2$ quindi $N-=3 (mod 4)$,allora esiste un numero primo $p|N p-=3 (mod 4)$ ma $p!in{p_1...p_k}$ e quindi ho trovato un nuovo primo della forma $4n+3$?
Fatemi sapere!Grazie

[Steven11]

"TomSawyer":Supponiamo per assurdo che esistano finiti primi $p_1,...,p_k$ tali che $p_i \equiv -1 (mod 4)$. Poniamo $n:=4p_1\cdots p_k-1$; quindi $n \equiv -1 (mod 4)$, ma i fattori primi di $n$ non possono essere tutti della forma $4j+1$, dunque ne esiste un altro della forma $4j+3$.

Ciao Tom, scusa una cosa: non ho capito perchè dici che i fattori di $n$ non possono essere tutti $4j+1$.
Chiarito questo, è semplice.
Grazie

[sherlock-votailprof]

"Steven":[quote="TomSawyer"]Supponiamo per assurdo che esistano finiti primi $p_1,...,p_k$ tali che $p_i \equiv -1 (mod 4)$. Poniamo $n:=4p_1\cdots p_k-1$; quindi $n \equiv -1 (mod 4)$, ma i fattori primi di $n$ non possono essere tutti della forma $4j+1$, dunque ne esiste un altro della forma $4j+3$.

Ciao Tom, scusa una cosa: non ho capito perchè dici che i fattori di $n$ non possono essere tutti $4j+1$.
Chiarito questo, è semplice.
Grazie [/quote]


perchè se fossero tutti nella forma 4j+1 il loro prodotto sarebbe ancora nella forma 4j+1 mentre il numero che vogliamo scomporre e congruo a 3 modulo 4

[delca85]

Scusate ma di quello che ho scritto io cosa ne pensate?

[sherlock-votailprof]

funziona

[delca85]

Davvero?Grande!Questa sì che è una bella notizia!Chissà perchè ci ha suggerito un procedimento più complicato e meno immediato di quello di Tom Sawyer.
Grazie ancora a tutti.