Induzione: tra n e 2n c'è sempre almeno un quadrato perfetto

[Einlar]

Salve a tutti!
Il problema è il seguente:
"Dimostrare che per ogni intero positivo n, tra n e 2n (estremi inclusi) c'è sempre un quadrato perfetto.

Ho provato a dimostrarlo per induzione, ma dato che non ho mai usato il principio di induzione in questo modo (mi sono sempre trovato di fronte a esercizi "meccanici" rispetto a questo) non sono pienamente sicuro di aver fatto bene.
Comunque, ho provato a fare così:\(\displaystyle \forall n \in N, \exists k: n \leq k^2 \leq 2n \).
P(n):
Passo base: \(\displaystyle P(1) \) vera in quanto \(\displaystyle 1 \leq 1^2 \leq 2 \)
Passo induttivo:
Devo dimostrare che \(\displaystyle P(n) \Rightarrow P(n+1) \)
Quindi deve risultare vera: \(\displaystyle \exists r: n+1 \leq r^2 \leq 2n+2 \)
Dall'ipotesi induttiva so che: \(\displaystyle \exists k: n \leq k^2 \leq 2n \)

Se \(\displaystyle k^2 \neq n \) allora \(\displaystyle k^2 \in ]n,2n] \), quindi il quadrato perfetto che valeva per i numeri da n a 2n vale anche per quelli da n+1 a 2n+2: \(\displaystyle k=r \in [n+1,2n+2] \) e la proposizione è confermata.[/list:u:29bn250g]


Se \(\displaystyle k^2 = n \) allora devo trovare un altro quadrato perfetto all'interno dell'intervallo [n+1, 2n+2]. Il candidato principale è ovviamente il quadrato del successivo di k: \(\displaystyle (k+1)^2 \)
Ora devo dimostrare che: \(\displaystyle n+1 \leq (k+1)^2 \leq 2n+2 \)
La prima disuguaglianza la dimostro così:
\(\displaystyle (k+1)^2 \geq n+1 \Rightarrow k^2 + 2k + 1 \geq n+1 \). So che \(\displaystyle k^2 = n \) quindi:
\(\displaystyle n + 2\sqrt{n}+1 \geq n+1 \Rightarrow \sqrt{n} \geq 0 \) che è sempre vera in N.
La seconda, in maniera analoga:
\(\displaystyle (k+1)^2 \leq 2n+2 \Rightarrow n+2\sqrt{n}+1 \leq 2n+2 \Rightarrow ( \sqrt{n}-1 )^2 \geq 0 \) sempre vera in N.
[/list:u:29bn250g]

Perciò la P(n+1) dovrebbe essere dimostrata.
È tutto corretto o mi sono perso qualcosa? Grazie in anticipo!

[billyballo2123]

Va benissimo così

[Gi81]

Comunque si può dimostrare anche senza usare l'induzione.

Fissato $n in NN\\{0}$, sia $k$ il più grande numero naturale tale che $k^2 Dimostro che $(k+1)^2 <=2n$, da cui la tesi.
Distinguo tre casi: $k=0$, $k=1$ e $k>=2$.
Se $k=0$ allora necessariamente $n=1$. Si ha allora $(k+1)^2 = 1 <= 2 = 2*n$.
Se $k=1$ allora $n in {2,3,4}$. Si ha $(k+1)^2 = 4=2 *2 <=2*n$.
Se $k>=2$ si ha $(k+1)^2 = k^2 +2k+1 <= k^2 +k^2+1< n +n +1=2n+1$, cioè $(k+1)^2 <=2n$.