Induzione su $F_n$

[anto_zoolander]

Ciao

volevo chiedervi se fosse corretto come ho dimostrato per induzione che:

$varphi^n=F_nvarphi+F_(n-1),forallninNN_0,varphi=(1-sqrt5)/2$


uso la prima forma:

$varphi^1=F_1varphi+F_0=varphi$

suppongo vero per un generico $n$ e cerco di dimostrare che dall'essere vero $varphi^n=>varphi^(n+1)$.

$varphi^n=F_nvarphi+F_(n-1)$ moltiplico ambo i membri per $varphi$

$varphi^(n+1)=F_n(varphi^2)+F_(n-1)varphi$ tenendo conto che $varphi^2=varphi+1$

$varphi^(n+1)=F_nvarphi+F_n+F_(n-1)varphi=varphi(F_n+F_(n-1))+F_n$

ricordando che $F_(n+1)=F_n+F_(n-1)$ dalla successione di Fibonacci

$varphi^(n+1)=F_(n+1)varphi+F_n$ che è la tesi.

[Indrjo Dedej]

Sì io direi che va bene. Adesso così su due piedi mi viene da dire: e se fosse $varphi= (1+ sqrt5)/2$, il teorema che hai dimostrato vale ancora, visto che usi la relazione $varphi^2=varphi +1$.

[anto_zoolander]

Si infatti non ho posto la domanda per entrambi, mi sembrava superfluo visto che godono della stessa proprietà. Mi serviva per dimostrare che:

$F_n=(phi^n-(1-phi)^n)/sqrt5,phi=(1+sqrt5)/2$

Per la tesina