Induzione matematica

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Chiedo scusa della stupidità degli esercizi che scrivo ma sono veramente in crisi...
Sia $a_n$ una successione di numeri reali strettamente positivi tali che $a_1<=1$ e $(a_(n+1))^2-a_(n+1)*a_n<=1$ per ogni $n in NN$
Dimostrare che
$sum_(k=1)^n(1/a_k)>=a_n$ per ogni $n in NN$
Dedurne
$sum_(k=1)^n(1/(root[2](k)))>=root[2](n)$ per ogni $n in NN$

Grazie

[Levacci]

Vediamo, una dimostrazione e una deduzione. Indeciso tra svelare i meccanismi dell'orologio o nasconderli tutti, scelgo una via di mezzo. Scrivo alcuni passaggi e ti lascio quelli che mancano. (Uff, e anche questa volta è andata: sono riuscito a spacciare la mia naturale indolenza per una scelta matematico-pedagogica ).

1) Il caso base è trivial. Per quanto riguarda il passo, dobbiamo dimostrare che $sum_(k=1)^(n+1) (1/a_k)>=a_(n+1)$. Per ipotesi induttiva $LHS>= a_n + 1/a_(n+1)$. A questo punto è sufficiente far vedere che $a_n + 1/a_(n+1)>=a_(n+1)$. E con un paio di passaggi algebrici questa diventa uguale all'ipotesi che abbiamo sulla successione $a_n$.

2) Dedurre, appunto. Abbiamo dimostrato la faccenda per ogni successione di reali strettamente positivi che rispetta una determinata condizione. Per concludere, verifichiamo che la successione dei $sqrt(k)$ con $k$ naturale è proprio una di queste successioni.

Naturaliter non escludo vanvere.

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Grazie mille.. dovrò imparare il latino anch'io prima o poi!