Induzione + limite
Buonasera a tutti,
desidero chiedere cortesemente qualche suggerimento su un paio di problemini.
1)
Dimostrare per induzione che
sommatoria per k da 1 a n di 1/(k^2) <= 2 - 1/n.
La base dell'induzione è banalmente verificata, quindi applicando l'ipotesi induttiva alla proposizione (n+1) ottengo:
sommatoria per k da 1 a n di 1/(k^2) + 1/((n+1)^2) <= 2 - 1/n + 1/((n+1)^2) e, da qui, dovrei dimostrare che l'ultima disuguaglianza è < 2 - 1/(n+1)
A questo punto non ne salto fuori; ho provato qualche sviluppo algebrico ma non vedo come riportarmi alla tesi.
2)
Calcolare il limite per x->0 di ((sinx)^2 - xsinx)/((cosx-1)^2)
Dico subito che il limite vale -2/3 e l'ho verificato in due modi: applicando l'Hopital (4 volte) e con gli sviluppi in serie al secondo ordine.
Quello che vorrei sapere è se si potrebbe anche risolvere mediante limiti notevoli. Mi puzza di sì, ma non saprei come.
Grazie 1000!
Giuseppe
desidero chiedere cortesemente qualche suggerimento su un paio di problemini.
1)
Dimostrare per induzione che
sommatoria per k da 1 a n di 1/(k^2) <= 2 - 1/n.
La base dell'induzione è banalmente verificata, quindi applicando l'ipotesi induttiva alla proposizione (n+1) ottengo:
sommatoria per k da 1 a n di 1/(k^2) + 1/((n+1)^2) <= 2 - 1/n + 1/((n+1)^2) e, da qui, dovrei dimostrare che l'ultima disuguaglianza è < 2 - 1/(n+1)
A questo punto non ne salto fuori; ho provato qualche sviluppo algebrico ma non vedo come riportarmi alla tesi.
2)
Calcolare il limite per x->0 di ((sinx)^2 - xsinx)/((cosx-1)^2)
Dico subito che il limite vale -2/3 e l'ho verificato in due modi: applicando l'Hopital (4 volte) e con gli sviluppi in serie al secondo ordine.
Quello che vorrei sapere è se si potrebbe anche risolvere mediante limiti notevoli. Mi puzza di sì, ma non saprei come.
Grazie 1000!
Giuseppe
Risposte
Quanto al primo esercizio e' facile: se fai il conto devi dimostrare che (n^2+n+1)/(n(n+1)^2)>1/(n+1), disuguaglianza vera e banale da verificare.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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Quanto al limite, sono partito con trucchi, ma prima o poi ho dovuto anche io usare de l'Hopital per cavarmela. Una sola volta pero' e' stato sufficiente.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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Ciao Luca,
ho visto i suggerimenti e ti ringrazio infinitamente per l'aiuto e la disponibilità.
ho visto i suggerimenti e ti ringrazio infinitamente per l'aiuto e la disponibilità.
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