[Induzione] Help
Salve a tutti. Ho un esercizio che non ho ben capito come svolgere.
ragionando per induzione si dimostri che
\(\displaystyle 2^n + 4^n < 5^n \)
qualcuno saprebbe aiutarmi?
ragionando per induzione si dimostri che
\(\displaystyle 2^n + 4^n < 5^n \)
qualcuno saprebbe aiutarmi?
Risposte
Beh, insomma... Non hai proprio alcuna idea? Sai cos'è il principio di induzione?
Si ho letto la teoria e visto le varie dimostrazioni
Sono giunto alla conclusione che grazie all' ipotesi e alla tesi dovrei dimostrare innanzitutto che bisogna prendere un n>1 altrimenti non è verificata la disuguaglianza, in secondo luogo dimostrare che se è vera per n allora è vera per n+1
ovvero 2n+1 +4n+1 < 5n+1
Sempre se ho capito bene
Sono giunto alla conclusione che grazie all' ipotesi e alla tesi dovrei dimostrare innanzitutto che bisogna prendere un n>1 altrimenti non è verificata la disuguaglianza, in secondo luogo dimostrare che se è vera per n allora è vera per n+1
ovvero 2n+1 +4n+1 < 5n+1
Sempre se ho capito bene
Per \(\displaystyle n=0 \) si ha che \(\displaystyle 1+1 > 1 \); per \(\displaystyle n=1 \) hai che \(\displaystyle 2+4 > 5 \). Quindi manca una condizione su \(\displaystyle n \) 
.
.
che n deve essere maggiore o uguale a 2. Ma la dimostrazione per induzione come la faccio?
@Tr1gun,
conosci il principio di induzione? ([url=http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_d'induzione#Dimostrazioni_per_induzione]CLIC[/url])
Saluti!!
"Tr1gun":
che n deve essere maggiore o uguale a 2. Ma la dimostrazione per induzione come la faccio?
conosci il principio di induzione? ([url=http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_d'induzione#Dimostrazioni_per_induzione]CLIC[/url])
Saluti!!
"garnak.olegovitc":
@Tr1gun,
[quote="Tr1gun"]che n deve essere maggiore o uguale a 2. Ma la dimostrazione per induzione come la faccio?
conosci il principio di induzione? ([url=http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_d'induzione#Dimostrazioni_per_induzione]CLIC[/url])
Saluti!![/quote]
Ho letto la teoria, ma se avevo capito come funzionava non avrei chiesto aiuto! Ho fatto altri esercizi sull'induzione e mi trovo, qui non ho capito come va fatta la dimostrazione.
Il mio commento era legato al fatto che non c'era quella condizione nel tuo primo messaggio. Senza quella condizione il tutto diventa falso. Sono sottigliezze a cui è bene fare attenzione.
Per \(n=2\) funziona infatti \(4+16 < 25\).
Dopo di che vale:
\[\begin{align} 2^{n+1} + 4^{n+1} &= 2\cdot 2^n + 4\cdot 4^n \\
&< 4\cdot 2^n + 4\cdot 4^n
\end{align}\]
Da questo punto in poi puoi continuare da solo.
Per \(n=2\) funziona infatti \(4+16 < 25\).
Dopo di che vale:
\[\begin{align} 2^{n+1} + 4^{n+1} &= 2\cdot 2^n + 4\cdot 4^n \\
&< 4\cdot 2^n + 4\cdot 4^n
\end{align}\]
Da questo punto in poi puoi continuare da solo.
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