Induzione esercizio
ciao a tutti, ho il seguente esercizio in cui devo usare l'induzione ma sinceramente non so dove mettere le mani:
"Si dimostri mediante induzione l'asserto seguente: per ogni n>4 è vera la disuguaglianza $ 2^n>n^2$"
Vi ringrazio molto per l'attenzione
"Si dimostri mediante induzione l'asserto seguente: per ogni n>4 è vera la disuguaglianza $ 2^n>n^2$"
Vi ringrazio molto per l'attenzione
Risposte
Ciao!
Innanzitutto prendi la base, dal momento che $n>4$ vuol dire che il più piccolo $n$ per cui "deve valere" la cosa che vuoi dimostrare è $5$,
$2^5>5^2$ cioè $32>25$, vero!
Dopodiché vai al passo induttivo e vedi cosa viene fuori.
Innanzitutto prendi la base, dal momento che $n>4$ vuol dire che il più piccolo $n$ per cui "deve valere" la cosa che vuoi dimostrare è $5$,
$2^5>5^2$ cioè $32>25$, vero!
Dopodiché vai al passo induttivo e vedi cosa viene fuori.
Ciao,si è proprio li che mi blocco,nel senso:
io sostituisco al posto di $n$ metto $n+1$,quindi diventa
$2^(n+1)>(n+1)^2$
però poi da qui non so cosa fare
io sostituisco al posto di $n$ metto $n+1$,quindi diventa
$2^(n+1)>(n+1)^2$
però poi da qui non so cosa fare
Il trucco - non è detto che funziona ma in genere! - è rapportarsi a quello che sai
$2^(n+1)= 2^n \cdot 2 > 2 \cdot n^2$
poiché sai che $2^n > n^2$ per ipotesi induttiva.
Potresti dimostrare che $2n^2 > (n+1)^2$, per concludere il giro ad esempio
$n^2 + n^2 > n^2 +2n +1$
ottenuta sviluppando i calcoli (e scrivendo $2n^2$ come somma di $n^2 +n^2$), semplificando un $n^2$
$n^2 > 2n+1$ ovvero $n^2-2n-1 >0$ che vale sempre per $n>4$ (si può sostituire $n$ naturale con $x$ e fare uno studio del segno).
Tuttavia questa mia idea mi sembra un po' troppo macchinosa e non mi stupirei che ce ne fosse un'altra più semplice.
$2^(n+1)= 2^n \cdot 2 > 2 \cdot n^2$
poiché sai che $2^n > n^2$ per ipotesi induttiva.
Potresti dimostrare che $2n^2 > (n+1)^2$, per concludere il giro ad esempio
$n^2 + n^2 > n^2 +2n +1$
ottenuta sviluppando i calcoli (e scrivendo $2n^2$ come somma di $n^2 +n^2$), semplificando un $n^2$
$n^2 > 2n+1$ ovvero $n^2-2n-1 >0$ che vale sempre per $n>4$ (si può sostituire $n$ naturale con $x$ e fare uno studio del segno).
Tuttavia questa mia idea mi sembra un po' troppo macchinosa e non mi stupirei che ce ne fosse un'altra più semplice.
Scusami una cosa,non capisco perché al primo passaggio hai aggiunto un $2$ al secondo membro della disequazione
Siccome non so quale delle 2 domande possibili - secondo me - intendi, rispondo ad entrambe.
Intanto mi cito
$2^(n+1)= 2^n \cdot 2$
per delle proprietà delle potenze.
$2^n \cdot 2 > 2 \cdot n^2$
perché a $2^n$ applico il passo induttivo, cioè $2^n > n^2$, l'altro $2$ resta in generale essendo una costante positiva.
Comunque continuo a pensare, ma magari mi sbaglio, che possa esserci una soluzione migliore della mia che mi sembra macchinosa e un po' troppo alla analisi I (c'è di mezzo pure un piccolo studio di funzione).
Intanto mi cito
"Zero87":
Il trucco - non è detto che funziona ma in genere! - è rapportarsi a quello che sai
$ 2^(n+1)= 2^n \cdot 2 > 2 \cdot n^2 $
$2^(n+1)= 2^n \cdot 2$
per delle proprietà delle potenze.
$2^n \cdot 2 > 2 \cdot n^2$
perché a $2^n$ applico il passo induttivo, cioè $2^n > n^2$, l'altro $2$ resta in generale essendo una costante positiva.
Comunque continuo a pensare, ma magari mi sbaglio, che possa esserci una soluzione migliore della mia che mi sembra macchinosa e un po' troppo alla analisi I (c'è di mezzo pure un piccolo studio di funzione).
In effetti una soluzione più elegante c'è (ed è quella che probabilmente Zero89 ha in mente) , ma probabilmente esula dalla richiesta dell'esercizio.
"Kashaman":
ed è quella che probabilmente Zero89 ha in mente
Avessi 2 anni di meno!
Comunque avevo in mente solo la soluzione che ho scritto perché quando ho a che fare con l'induzione mando via la "tentazione" di usare l'analisi. Però in quella che ho postato c'è quel secondo punto - cioè dimostrare che $n^2-2n-1>0$ - che si serve di metodi analitici invece che induttivi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo