Induzione
Propongo un esercizio con dimostrazione e vorrei sapere dalla community se è lecito il mio ragionamento:
Dimostrare che $2sum_(i=1)^(n)i=n(n+1)$. Per $n=1$ => 2=2 sempre vero.
Sia vero allora per $n$. Mostriamo che è vero per $n+1$ cioè che:
$2sum_(i=1)^(n+1)i=(n+1)(n+2)$ => $2(sum_(i=1)^(n)i) + 2(n+1)=(n+1)n +2(n+1)$
Ora, $2(sum_(i=1)^(n)i) =(n+1)n$ è vero per ipotesi induttiva, quindi resta da verificare che $2(n+1)=2(n+1)$ che è sempre vera, quindi $2sum_(i=1)^(n+1)i=(n+1)(n+2)$ è un'identità ed è verificata. C.V.D.
Rispondete plz
Dimostrare che $2sum_(i=1)^(n)i=n(n+1)$. Per $n=1$ => 2=2 sempre vero.
Sia vero allora per $n$. Mostriamo che è vero per $n+1$ cioè che:
$2sum_(i=1)^(n+1)i=(n+1)(n+2)$ => $2(sum_(i=1)^(n)i) + 2(n+1)=(n+1)n +2(n+1)$
Ora, $2(sum_(i=1)^(n)i) =(n+1)n$ è vero per ipotesi induttiva, quindi resta da verificare che $2(n+1)=2(n+1)$ che è sempre vera, quindi $2sum_(i=1)^(n+1)i=(n+1)(n+2)$ è un'identità ed è verificata. C.V.D.
Rispondete plz
Risposte
Ciao,
mi sembra che sia giusto, ma non capisco perche' tiri in ballo l'identita'.
Se affermi che e' vera per $n-1$ e provi per $n$, ti viene:
$2sum_(i=1)^(n-1)i+2n=(n-1)n+2n=n(n-1+2)=n(n+1)$
che e' esattamente la tesi. Se vai fino a $n+1$ l'uguaglianza cambia, perche' tutte le volte che leggi $n$ devi aggiungere 1.
mi sembra che sia giusto, ma non capisco perche' tiri in ballo l'identita'.
Se affermi che e' vera per $n-1$ e provi per $n$, ti viene:
$2sum_(i=1)^(n-1)i+2n=(n-1)n+2n=n(n-1+2)=n(n+1)$
che e' esattamente la tesi. Se vai fino a $n+1$ l'uguaglianza cambia, perche' tutte le volte che leggi $n$ devi aggiungere 1.
Mah.. si.. a me sembra corretta.. Se poi la poni in correlazione con la + nota somma di naturali, cioè senza il 2 a moltiplicare, noti subito che essendoci il 2 davanti la sommatoria e non essendoci il 2 a dividere a destra, è la stessa cosa.
Cioè potresti sfruttare il fatto di conoscere quell'altra per ricavare questa in modo più semplice, come per le serie. Ma insomma, così va bene mi sembra.
Cioè potresti sfruttare il fatto di conoscere quell'altra per ricavare questa in modo più semplice, come per le serie. Ma insomma, così va bene mi sembra.
"Aethelmyth":
$2sum_(i=1)^(n+1)i=(n+1)(n+2)$ è un'identità ed è verificata.
Ok adesso ho capito cosa intendi...mi sfuggiva
Giusta quindi
"John_Nash":
Mah.. si.. a me sembra corretta.. Se poi la poni in correlazione con la + nota somma di naturali, cioè senza il 2 a moltiplicare, noti subito che essendoci il 2 davanti la sommatoria e non essendoci il 2 a dividere a destra, è la stessa cosa.
Cioè potresti sfruttare il fatto di conoscere quell'altra per ricavare questa in modo più semplice, come per le serie. Ma insomma, così va bene mi sembra.
Sisi conosco bene la storia di Gauss e i fagioli
. Il mio problema era unicamente l'induzione, dato che si sono create delle incomprensioni alla mia università volevo essere sicuro 
. Se qualcuno non è sicuro, lo dica che ne discutiamo.
lo dico anche qui..è giusto il ragionamento di oronte38: prendo n-1 con l'uguaglianza vera per ipotesi induttiva e aggiungo una quantità in entrambi i membri, così dimostro la tesi..quello che è sbagliato è prendere la tesi e far vedere che implica qualcosa..alla tesi ci devo arrivare, non posso partire di lì..aethelmyth prende la tesi e fa vedere che è un'identità..così non ha senso l'induzione..
Dopo qualche discussione credo di esser giunto alla conclusione, e cioè che abbia fatto un errore di notazione. All'inizio della dimostrazione avrei dovuto scrivere:
$2sum_(i=1)^(n+1)i=(n+1)(n+2)$ <=> $2(sum_(i=1)^(n)i) + 2(n+1)=(n+1)n +2(n+1)$
In quanto le due uguaglianze sono l a stessa, cioè sono equivalenti, e non "la prima implica la seconda".
Se poteste confermare ve ne sarei grato...
$2sum_(i=1)^(n+1)i=(n+1)(n+2)$ <=> $2(sum_(i=1)^(n)i) + 2(n+1)=(n+1)n +2(n+1)$
In quanto le due uguaglianze sono l a stessa, cioè sono equivalenti, e non "la prima implica la seconda".
Se poteste confermare ve ne sarei grato...
"Aethelmyth":
Dopo qualche discussione credo di esser giunto alla conclusione, e cioè che abbia fatto un errore di notazione. All'inizio della dimostrazione avrei dovuto scrivere:
$2sum_(i=1)^(n+1)i=(n+1)(n+2)$ <=> $2(sum_(i=1)^(n)i) + 2(n+1)=(n+1)n +2(n+1)$
In quanto le due uguaglianze sono l a stessa, cioè sono equivalenti, e non "la prima implica la seconda".
Se poteste confermare ve ne sarei grato...
io farei in modo inequivocabile in questo modo:
$2(sum_(i=1)^(n)i)=n(n+1)
quindi per n=1 ottengo 2=2.
quindi devo sapere quanto vale aggiungendo n+1
cioè $2(1+2+3+...+n+n+1)=2(1+2+3+4+...+n)+2(n+1)$ che per ipotesi di induzione vale $n(n+1)+2(n+1)=(n+1)(n+2)$ cvd
questo è equivalente al tuo ultimo post, scritto solo in maniera estesa
si anch'io le dimostrazioni per induzione di questo tipo le faccio sempre come ha detto fu^2
"Aethelmyth":
Dopo qualche discussione credo di esser giunto alla conclusione, e cioè che abbia fatto un errore di notazione. All'inizio della dimostrazione avrei dovuto scrivere:
$2sum_(i=1)^(n+1)i=(n+1)(n+2)$ <=> $2(sum_(i=1)^(n)i) + 2(n+1)=(n+1)n +2(n+1)$
In quanto le due uguaglianze sono l a stessa, cioè sono equivalenti, e non "la prima implica la seconda".
Se poteste confermare ve ne sarei grato...
L'equivalenza è esatta, anche se a te interessa solo l'implicazione <= per dimostrare la tua proposizione.
In realtà si tratta di un semplice passaggio algebrico, perciò puoi anche fare a meno dell'implicazione e scrivere direttamente la catena di uguaglianze:
$2sum_(i=1)^(n+1)i=2(sum_(i=1)^(n)i) + 2(n+1)=(n+1)n +2(n+1)=(n+1)+(n+2)$
ed eliminare i membri intermedi.
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