Induzione

[NemodBridge]

Dimostrare procedendo per induzione su $n in N$, che $sum_(k = 1)^n (2k - 1) = n^2$.

Qualcuno mi saprebbe spiegare come si risolve un esercizio di questo tipo??
Grazie mille.

[garnak.olegovitc1]

@NemoBridge,

"NemodBridge":Dimostrare procedendo per induzione su $n in N$, che $sum_(k = 1)^n (2k - 1) = 2^n$.

Qualcuno mi saprebbe spiegare come si risolve un esercizio di questo tipo??
Grazie mille.

semplicemente devi vedere che sono vere le due condizioni:

\( 1) \quad n=1\)
\( 2) \quad n \to n+1\)

e se lo sono allora la tua formula è vera per ogni \(\Bbb{N} \ni n \geq 1 \)

Prova prima per \(n=1 \)

Saluti

P.S.= [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_d'induzione#Dimostrazioni_per_induzione]Clic[/url]

[NemodBridge]

@garnak.olegovitc grazie per la risposta.

Provandoci ho tirato fuori questo:

Per n=1
$sum_(k = 1)^(1) (2*1-1)=1^2$ che mi da 1=1 e quindi è verificata.

Per n+1

$sum_(k = 1)^(n+1) (2k-1) = (sum_(k = 1)^(n) (2k-1)) + (n+1) = n^2+n+1$

Ma in realtà la soluzione dovrebbe essere:
$sum_(k = 1)^(n+1) (2k-1) = (sum_(k = 1)^(n) (2k-1))+(2n + 2 − 1) = n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2 $

non capisco dove tira fuori $(2n + 2 − 1)$

[stormy1]

prima di tutto,hai sbagliato a scrivere la tesi nel primo post
il risultato della sommatoria è $n^2$


se a $k$ sostituisci il valore $n+1$,si ha
$2k-1=2(n+1)-1=2n+2-1$

[garnak.olegovitc1]

@NemoBridge,

"NemodBridge":@garnak.olegovitc grazie per la risposta.

Provandoci ho tirato fuori questo:

Per n=1
$sum_(k = 1)^(1) (2*1-1)=1^2$ che mi da 1=1 e quindi è verificata.

Per n+1

$sum_(k = 1)^(n+1) (2k-1) = (sum_(k = 1)^(n) (2k-1)) + (n+1) = n^2+n+1$

Ma in realtà la soluzione dovrebbe essere:
$sum_(k = 1)^(n+1) (2k-1) = (sum_(k = 1)^(n) (2k-1))+(2n + 2 − 1) = n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2 $

non capisco dove tira fuori $(2n + 2 − 1)$

tu hai scritto prima la formula:

"NemodBridge":Dimostrare procedendo per induzione su $ n in N $, che $ sum_(k = 1)^n (2k - 1) = 2^n $.

Qualcuno mi saprebbe spiegare come si risolve un esercizio di questo tipo??
Grazie mille.

non si cambiano le carte in tavola, cioè nel calcolo

"NemodBridge":
Per n=1
$sum_(k = 1)^(1) (2*1-1)=1^2$ che mi da 1=1 e quindi è verificata.

quel \( 1^2 \) da dove spunta? Dovrebbe essere \( 2^1 \).. se così fosse allora, dimostrando, la tua formula è falsa!

Saluti

edit: come ha scritto stormy

"stormy":prima di tutto,hai sbagliato a scrivere la tesi nel primo post
il risultato della sommatoria è $n^2$


se a $k$ sostituisci il valore $n+1$,si ha
$2k-1=2(n+1)-1=2n+2-1$

è \( n^2 \) e non \( 2^n\)?

[NemodBridge]

@garnak.olegovitc

Si scusate avevo scritto male ho corretto è $n^2$

Caso base per n=1:
$sum_(k = 1)^(1) (2*1-1)=1^2$

Verificato!!

Per n=n+1:

$sum_(k = 1)^(n+1) (2k-1)= (sum_(k = 1)^(n) (2k-1)) + (2(n+1)-1) =n^2 + 2n + 1 $

Basta questo o manca qualcosa??