Individuare elemento in gruppo ciclico.
Buonasera a tutti ragazzi. Ho ancora dei dubbi sui gruppi ciclici.
L'esercizio recita:
Si consideri un gruppo ciclico F = di 30 elementi.
1)Calcolare l'ordine dell'elemento $g^5$
Se per esempio considero il gruppo $(Z_30,+)$ questo è un gruppo ciclico generato da $[k] t.c. MCD(k,30) = 1$.
Per determinare ad esempio $g^5$ prendo un generatore del gruppo ciclico, supponiamo di prendere 4 come generatore:
$[4]^0 = 0$
$[4]^1 = 4$
$[4]^2 = [4] * [2] = [8]$
$[4]^3 = [4] *[3] = [12]$
$[4] ^4 = [4] * [4] =[16]$
$[4] ^5 = [4] * [5] = [20]$
Da questo se ne deduce che $g^5=[20]$
Per trovare l'ordine di $g^5$ dovrò individuare il più piccolo intero k t.c.
$[20] * [k] = [0]$
Che può essere riscritta come:
$[20]*[k] = [30 * h]$ con h intero.
Da cui:
$k=(3/2)*h$
Dunque il più piccolo intero che mi consente di ottenere k intero è 2. Si può dire che l'ordine dell'elemento $g^5$ è proprio 2?
Il mio problema è il seguente. Supponiamo di prendere un altro generatore, invece di [4]. Prendiamo ad esempio [1].
Allora si avrà:
$[1]^0 = 0$
$[1]^1 = 1$
$[1]^2 = [1] * [2] = [2]$
$[3]^3 = [1] *[3] = [3]$
$[1] ^4 = [1] * [4] =[4]$
$[1] ^5 = [1] * [5] = [5]$
Da cui ottengo che $g^5 = [5]$
Se provo a calcolare l'ordine di [5], ottengo:
$[5] * [k] = [30 h]$ con h intero.
Da cui k=6.
Sicuramente sto sbagliando qualcosa, dato che mi vengono due ordini diversi per lo stesso elemento scegliendo due generatori diversi.
Qualcuno mi aiuta a fare chiarezza?
Grazie ragazzi, buona serata.
L'esercizio recita:
Si consideri un gruppo ciclico F =
1)Calcolare l'ordine dell'elemento $g^5$
Se per esempio considero il gruppo $(Z_30,+)$ questo è un gruppo ciclico generato da $[k] t.c. MCD(k,30) = 1$.
Per determinare ad esempio $g^5$ prendo un generatore del gruppo ciclico, supponiamo di prendere 4 come generatore:
$[4]^0 = 0$
$[4]^1 = 4$
$[4]^2 = [4] * [2] = [8]$
$[4]^3 = [4] *[3] = [12]$
$[4] ^4 = [4] * [4] =[16]$
$[4] ^5 = [4] * [5] = [20]$
Da questo se ne deduce che $g^5=[20]$
Per trovare l'ordine di $g^5$ dovrò individuare il più piccolo intero k t.c.
$[20] * [k] = [0]$
Che può essere riscritta come:
$[20]*[k] = [30 * h]$ con h intero.
Da cui:
$k=(3/2)*h$
Dunque il più piccolo intero che mi consente di ottenere k intero è 2. Si può dire che l'ordine dell'elemento $g^5$ è proprio 2?
Il mio problema è il seguente. Supponiamo di prendere un altro generatore, invece di [4]. Prendiamo ad esempio [1].
Allora si avrà:
$[1]^0 = 0$
$[1]^1 = 1$
$[1]^2 = [1] * [2] = [2]$
$[3]^3 = [1] *[3] = [3]$
$[1] ^4 = [1] * [4] =[4]$
$[1] ^5 = [1] * [5] = [5]$
Da cui ottengo che $g^5 = [5]$
Se provo a calcolare l'ordine di [5], ottengo:
$[5] * [k] = [30 h]$ con h intero.
Da cui k=6.
Sicuramente sto sbagliando qualcosa, dato che mi vengono due ordini diversi per lo stesso elemento scegliendo due generatori diversi.
Qualcuno mi aiuta a fare chiarezza?
Grazie ragazzi, buona serata.
Risposte
Ricordo che se il periodo di \(g \in G\) è \(n\) allora il periodo di \(g^t\) è \(\dfrac{n}{(t, n)}\).
Se il gruppo ciclico di ordine 30 è generato da \(f\) e \(g = f\) allora hai che il periodo di \(g^5\) è \(\dfrac{30}{(30, 5)} = 6\).
In generale se hai \(g = f^n\) allora hai che il periodo di \(g^5\) è \(\dfrac{30}{(30, 5n)} = \dfrac{6}{(6, n)}\).
Quindi in \(\mathbb{Z}_{30}\) se prendi \(g = 1\) avrai \(|5g| = 6\), se prendi \(g=4\) allora \(|5g| = 3\) etc.
Se il gruppo ciclico di ordine 30 è generato da \(f\) e \(g = f\) allora hai che il periodo di \(g^5\) è \(\dfrac{30}{(30, 5)} = 6\).
In generale se hai \(g = f^n\) allora hai che il periodo di \(g^5\) è \(\dfrac{30}{(30, 5n)} = \dfrac{6}{(6, n)}\).
Quindi in \(\mathbb{Z}_{30}\) se prendi \(g = 1\) avrai \(|5g| = 6\), se prendi \(g=4\) allora \(|5g| = 3\) etc.
Grazie mille per la tua risposta e grazie per la dritta.
In sostanza, in base al generatore che scelgo, $g^5$ sarà un elemento diverso, di ordine diverso?
Grazie ciao.
In sostanza, in base al generatore che scelgo, $g^5$ sarà un elemento diverso, di ordine diverso?
Grazie ciao.
Se \(g\) è un elemento qualsiasi del gruppo \(\left \langle f \right \rangle\) allora sì.
Grazie mille per la tua risposta. Ho un'ultima domanda da porti.
Nel caso in cui, l'esercizio chieda:
Quanti sono gli elementi del sottogruppo $?$
Calcolo come mi hai spiegato:
$30/(MCD(30,10)) = 30/10 = 3$
Posso dire che dato ce G è un gruppo ciclico, allora gli elementi di $$ sono 3?
Grazie per la disponibilità, ciao.
Nel caso in cui, l'esercizio chieda:
Quanti sono gli elementi del sottogruppo $
Calcolo come mi hai spiegato:
$30/(MCD(30,10)) = 30/10 = 3$
Posso dire che dato ce G è un gruppo ciclico, allora gli elementi di $
Grazie per la disponibilità, ciao.
Se intendi \(G = \left \langle g \right \rangle\) allora sì. In generale hai che se \(G = \left \langle g \right \rangle\) e \(|G|=n\) allora per ogni \(d\) che divide \(n\) esiste ed è unico il sottogruppo(ciclico) di \(G\) di ordine \(d\), ed esso sarà \(\left \langle g^{n/d} \right \rangle\).
In sostanza nel caso dei gruppi ciclici, elementi e sottogruppi sono la stessa cosa.
Grazie per la tua risposta. Ciao
Grazie per la tua risposta. Ciao
No, gruppi generati da un elemento e sottogruppi "sono la stessa cosa", gli elementi non sono insiemi.
Ok quindi per esempio, il sottogruppo $$ è equivalente al gruppo generato dall'elemento $g^10$. Dato che il gruppo generato da $g^10$ ha ordine $3$ pure il sottogruppo $$ ha ordine 3.
Giusto?
Giusto?
Il sottogruppo \(\langle g^{10} \rangle\) è per definizione il gruppo generato dall'elemento \(g^{10}\), e si dimostra che se un elemento ha periodo finito \(n\) allora il gruppo generato da quell'elemento ha ordine \(n\).
Perfetto, chiarissimo. 
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