Indice del normalizzatore = # coniugati.. perchè?
Come ho cercato di spiegare nel titolo, sto cercando di capire perchè l'indice del normalizzatore di un sgr $H$ di $G$ mi dice quanti sono i coniugati di $H$ (ovvero quante immagini ha $H$ secondo il coniugio). Non so come spiegarmelo, ma credo sia una stupidaggine.
Risposte
Ti dico una cosa ma non ne sono sicurissimo ... xD L'applicazione
$f: gN_G(H) \in G/{N_G(H)} -> gHg^{-1}$
è una biezione fra le classi laterali di $N_G(H)$ e l'insieme dei coniugati di $H$. Infatti è ben definita ed iniettiva
$gN_G(H) = kN_G(H) <=> g^{-1}k \in N_G(H) <=> k^{-1}gHg^{-1}k =H$ $<=> gHg^{-1}=kHk^{-1} <=> f(gN_G(H)) = f(kN_G(H))$
ed è banalmente surriettiva. Sempre se non mi ricordo male questo dovrebbe essere un caso particolare del Teorema Orbita-Stabilizzatore. Ciao.
$f: gN_G(H) \in G/{N_G(H)} -> gHg^{-1}$
è una biezione fra le classi laterali di $N_G(H)$ e l'insieme dei coniugati di $H$. Infatti è ben definita ed iniettiva
$gN_G(H) = kN_G(H) <=> g^{-1}k \in N_G(H) <=> k^{-1}gHg^{-1}k =H$ $<=> gHg^{-1}=kHk^{-1} <=> f(gN_G(H)) = f(kN_G(H))$
ed è banalmente surriettiva. Sempre se non mi ricordo male questo dovrebbe essere un caso particolare del Teorema Orbita-Stabilizzatore. Ciao.