Indice dei sottogruppi e gruppo prodotto
Sia $G$ un gruppo finito e siano $H$, $K$ sottogruppi di $G$ tali che $[G]$ e $[G]$ sono coprimi. Allora $G=HK$.
Provo a dimostrare questa affermazione.
Si ha $|G|=[G]*|H|=[G]*|K|$.
Essendo $[G]$ e $[G]$ coprimi e $[G]$ divide il prodotto $[G]*|K|$, deve essere che $[G]$ divide $|K|$.
Analogamente si mostra che $[G]$ divide $|H|$.
Arrivato qui però non ho idea di come poter proseguire...la mia idea di partenza era di sfruttare il fatto che sicuramente $HK\subeG$ e di mostrare il fatto che $|G|=|HK|$ (sapendo che $|HK|=|H|*|K|/|HnnK|$) per concludere che $G=HK$.
Può essere una buona strada e mi manca qualcosa per concludere oppure conviene fare un ragionamento completamente diverso?
Provo a dimostrare questa affermazione.
Si ha $|G|=[G]*|H|=[G]*|K|$.
Essendo $[G]$ e $[G]$ coprimi e $[G]$ divide il prodotto $[G]*|K|$, deve essere che $[G]$ divide $|K|$.
Analogamente si mostra che $[G]$ divide $|H|$.
Arrivato qui però non ho idea di come poter proseguire...la mia idea di partenza era di sfruttare il fatto che sicuramente $HK\subeG$ e di mostrare il fatto che $|G|=|HK|$ (sapendo che $|HK|=|H|*|K|/|HnnK|$) per concludere che $G=HK$.
Può essere una buona strada e mi manca qualcosa per concludere oppure conviene fare un ragionamento completamente diverso?
Risposte
Trovo che sia più utile osservare che [tex]|G:H|[/tex] e [tex]|G:K|[/tex] dividono [tex]|G: H \cap K|[/tex].
Vero. Indipendentemente dal fatto che $[G]$ e $[G]$ siano coprimi, so che $[G]=[G]*[H]=[G]*[K]$, dunque sia $[G]$ che $[G]$ dividono $[G]$.
Ora usando il fatto che sono coprimi posso dire anche che $[G]*[G]$ divide $[G]$.
Ma in che modo questo mi viene in aiuto?
Ora usando il fatto che sono coprimi posso dire anche che $[G]*[G]$ divide $[G]$.
Ma in che modo questo mi viene in aiuto?
Si dà il caso che \([G:H\cap K] \le [G][G]\). Per vederlo considera la funzione insiemistica \(g(H\cap K)\mapsto (gH, gK)\). La condizione \((gH, gK) = (g'H,g'K)\) coincide con \((H,K) = (g^{-1}g'H, g^{-1}g'K)\) cioé \(g^{-1}g'\in H\cap K\). Pertanto la funzione è ben definita e iniettiva.
Esatto, e se [tex]G[/tex] è finito basta scrivere [tex]\frac{|G:H||G:K|}{|G:H \cap K|} = \frac{(|G|/|H|) (|G|/|K|)}{|G|/|H \cap K|} = |G| \frac{|H \cap K|}{|H||K|} = |G|/|HK| \geq 1[/tex].
Ok, dunque posso concludere che vale l'uguaglianza $[G]=[G]*[G]$.
Siccome siamo nel caso di $G$ finito allora questa uguaglianza si può scrivere come $|G|/|HnnK|=|G|/|H|*|G|/|K|$, ovvero $|G|=|H|*|K|/|HnnK|=|HK|$.
Siccome, come detto in precedenza, $HK<=G$ (perchè $H<=G$ e $K<=G$) allora deve essere $HK=G$. Se non ho commesso errori, grazie ad entrambi!
@Martino: nel tuo ultimo post provi che $|HK|<=|G|$ ma a noi serviva il verso opposto, ovvero $|HK|>=|G|$, giusto?
Siccome siamo nel caso di $G$ finito allora questa uguaglianza si può scrivere come $|G|/|HnnK|=|G|/|H|*|G|/|K|$, ovvero $|G|=|H|*|K|/|HnnK|=|HK|$.
Siccome, come detto in precedenza, $HK<=G$ (perchè $H<=G$ e $K<=G$) allora deve essere $HK=G$. Se non ho commesso errori, grazie ad entrambi!
@Martino: nel tuo ultimo post provi che $|HK|<=|G|$ ma a noi serviva il verso opposto, ovvero $|HK|>=|G|$, giusto?
No nel mio ultimo post provo che [tex]|G:H||G:K| \geq |G:H \cap K|[/tex] quando [tex]G[/tex] è finito, nel post prima vict85 l'ha dimostrato per G qualunque con H,K di indice finito.
Ah ok, quindi usi il fatto che $HKsubeG$ per dimostrare che $[G]*[G]>=[G]$.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
Sì l'idea è quella ma [tex]|HK| \leq |G|[/tex] segue semplicemente da [tex]HK \subseteq G[/tex]. Occhio, in generale [tex]HK[/tex] non è un sottogruppo. Lo è se e solo se [tex]HK=KH[/tex], e questo succede per esempio se uno tra [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] è normale. Ciao!
Grazie per la precisazione. In questo caso in effetti non e' noto se questi gruppi siano o meno normali in $G$, dunque sostituisco il simbolo di sottogruppo con il simbolo di sottoinsieme
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