Inclusione di sottocampi l'uno nell'altro?

[Rodolfo Medina]

Salve a tutti.

Vorrei sapere se è possibile dimostrare che i campi sono fatti `a mo'
di cipolla', cioè se i sottocampi di un dato campo sono inclusi l'uno
nell'altro, cioè che, dato un campo $F$ e due suoi sottocampi $K_1$ e
$K_2$, risulta sempre necessariamente $K_1 \subseteq K_2$ o $K_2
\subseteq K_1$. Mi pare che ciò sia vero e facilmente dimostrabile
se $F$ è un campo finito, e mi domando se è vero e come si possa
dimostrare in generale cioè anche se $F$ è infinito. Grazie a
chiunque possa aiutare.

Rodolfo Medina

[Gi81]

Se $K$ è infinito non vale (in generale).
Prendi $K= CC$, $K_1=RR$ e $K_2=QQ$

[Studente Anonimo]

Sottoscrivo quanto ha detto Gi8. Inoltre non è vero nemmeno se $F$ è un campo finito: per esempio se $F$ ha $p^6$ elementi (dove $p$ è un primo) allora ha sottocampi di ordini $p^2$, $p^3$, tra cui non ci sono relazioni di inclusione (ricorda la formula dei gradi). Se conosci la teoria di Galois osserva che i reticoli degli intercampi sono in corrispondenza coi reticoli dei sottogruppi (frase da formalizzare) e parlando di gruppi c'è una varietà elevatissima di cose che possono succedere.

[Rodolfo Medina]

Grazie, siete stati illuminanti.

Rodolfo