Implicazione logica
Oggi la prof. di Analisi I ci ha parlato dell'implicazione logica, spiegandola tramite alcuni esempi su rapporti tra insiemi e sottoinsiemi. Non so se ho capito bene o meno cosa implica questa terminologia.
Vi porto un esempio fatto da lei, se potreste spiegarmi l'implicazione logica qui in cosa consiste.
Insieme P = { n appartenente ad N : n è divisibile per 4 }
Insieme P' = { n appartenente ad N : n è divisibile per 2 }
Ergo P => P' ma non P <= P'.
Dov'è e cos'è l'implicazione logica in questo esempio ?
Vi porto un esempio fatto da lei, se potreste spiegarmi l'implicazione logica qui in cosa consiste.
Insieme P = { n appartenente ad N : n è divisibile per 4 }
Insieme P' = { n appartenente ad N : n è divisibile per 2 }
Ergo P => P' ma non P <= P'.
Dov'è e cos'è l'implicazione logica in questo esempio ?
Risposte
Questa implicazione va letta come "allora".
L'esempio che ti ha dato la prof è il seguente :
Sia $n in NN$
(se )$n$ (è) divisibile per $4$ => $n$ è divisibile per due.
Vuol dire semplicemente che se il numero che c'ho, è divisibile per quattro , allora è divisibile per due.
Il viceversa non è vero.
Un semplice controesempio è questo:
prendi $n=6$, ovviamente $n$ è divisibile per due ,ma non lo è per $4$.
$=>$ la si può dimostrare al seguente modo.
Definizione : Siano $a,b in NN$ . Si dice che $b$ divide $a $ e si scrive $b|a$ (o che b è un divisore di a, o che a è un multiplo di b) se $EE q in NN$ tale che $a=bq$. (questa definizione ci dice semplicemente che $a=bq<=> a$ è divisibile per $b$.
Dimostrazione enunciato :
Per ipotesi $n$ è divisibile per $4$. Ciò vuol dire per definizione che $4|n$ il che vuol dire per definizione che $EE k in NN$ tale che $n=4k$.
Noi sappiamo che $4=2^2=2*2$ (che come vedrai, ce lo garantisce il teorema fondamentale dell'aritmetica)
pertanto
$n=(2*2)k=2*(2k)$, dove nell'ultima uguaglianza ho applicato la proprietà associativa della moltiplicazione.
Ora $2k in NN $ è un numero naturale. Posto $k'=2k in NN$ ho che
$n=2k'$ .
Ma allora, per definizione ciò vuol dire che $2|n$. E pertanto $n$ è divisibile per $2$.
End.
L'esempio che ti ha dato la prof è il seguente :
Sia $n in NN$
(se )$n$ (è) divisibile per $4$ => $n$ è divisibile per due.
Vuol dire semplicemente che se il numero che c'ho, è divisibile per quattro , allora è divisibile per due.
Il viceversa non è vero.
Un semplice controesempio è questo:
prendi $n=6$, ovviamente $n$ è divisibile per due ,ma non lo è per $4$.
$=>$ la si può dimostrare al seguente modo.
Definizione : Siano $a,b in NN$ . Si dice che $b$ divide $a $ e si scrive $b|a$ (o che b è un divisore di a, o che a è un multiplo di b) se $EE q in NN$ tale che $a=bq$. (questa definizione ci dice semplicemente che $a=bq<=> a$ è divisibile per $b$.
Dimostrazione enunciato :
Per ipotesi $n$ è divisibile per $4$. Ciò vuol dire per definizione che $4|n$ il che vuol dire per definizione che $EE k in NN$ tale che $n=4k$.
Noi sappiamo che $4=2^2=2*2$ (che come vedrai, ce lo garantisce il teorema fondamentale dell'aritmetica)
pertanto
$n=(2*2)k=2*(2k)$, dove nell'ultima uguaglianza ho applicato la proprietà associativa della moltiplicazione.
Ora $2k in NN $ è un numero naturale. Posto $k'=2k in NN$ ho che
$n=2k'$ .
Ma allora, per definizione ciò vuol dire che $2|n$. E pertanto $n$ è divisibile per $2$.
End.
Tutto chiaro.
bene 
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