Immersione di $D_{2n}$ in $S_n$ (per $n>2$).
Buongiorno,
benché vi siano due modi equivalenti per definire il gruppo diedrale di ordine $2n$, quello "geometrico" (gruppo delle simmetrie di un poligono regolare di $n$ lati) e quello "algebrico" (gruppo di presentazione $D_{2n}:=\langle r,s| r^n=s^2=(sr)^2=1\rangle$), tutte le dimostrazioni del fatto nel titolo (tutte quelle che ho visto io, s'intende) si basano solo sul primo, chiamando in causa l'azione del gruppo sui vertici del poligono. Mi sembra, però, che ve ne sia una che vale a prescindere da ogni considerazione geometrica. Potete cortesemente verificare se è corretta o se sto sbagliando qualcosa?
Grazie
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Detto $H:=\{1,s\}\le D_{2n}$, risulta $rHr^{-1}=\{1,r^2s\}$ e quindi $H\cap rHr^{-1}=\{1\}$ non appena $n>2$. Ciò è sufficiente affinché risulti $\bigcap_{g\in D_{2n}}gHg^{-1}=\{1\}$, per cui l'azione di $D_{2n}$ per moltiplicazione a sinistra sull'insieme degli $n$ laterali sinistri di $H$ in $D_{2n}$ è fedele. Quindi esiste un omomorfismo iniettivo di $D_{2n}$ in $S_n$.
benché vi siano due modi equivalenti per definire il gruppo diedrale di ordine $2n$, quello "geometrico" (gruppo delle simmetrie di un poligono regolare di $n$ lati) e quello "algebrico" (gruppo di presentazione $D_{2n}:=\langle r,s| r^n=s^2=(sr)^2=1\rangle$), tutte le dimostrazioni del fatto nel titolo (tutte quelle che ho visto io, s'intende) si basano solo sul primo, chiamando in causa l'azione del gruppo sui vertici del poligono. Mi sembra, però, che ve ne sia una che vale a prescindere da ogni considerazione geometrica. Potete cortesemente verificare se è corretta o se sto sbagliando qualcosa?
Grazie
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Detto $H:=\{1,s\}\le D_{2n}$, risulta $rHr^{-1}=\{1,r^2s\}$ e quindi $H\cap rHr^{-1}=\{1\}$ non appena $n>2$. Ciò è sufficiente affinché risulti $\bigcap_{g\in D_{2n}}gHg^{-1}=\{1\}$, per cui l'azione di $D_{2n}$ per moltiplicazione a sinistra sull'insieme degli $n$ laterali sinistri di $H$ in $D_{2n}$ è fedele. Quindi esiste un omomorfismo iniettivo di $D_{2n}$ in $S_n$.
Risposte
Sono un po' arrugginito, ma penso possa essere giusto. Comunque il testo ha usato la spiegazione geometrica perché permetteva di avere una rappresentazione visiva del gruppo e quindi di poterci lavorare in modo più efficace.
Tieni conto che la presentazione di \(D_{2n} = \langle s_1, s_2 \mid s_1^2 = s_2^2 = (s_1s_2)^n = (s_2s_1)^n = e \rangle\) lo pone "intrinsicamente" tra i gruppi euclidei di riflessione, ovvero esiste un modo abbastanza canonico per rappresentare un gruppo finito con una presentazione di questo tipo (gruppi finiti di Coxeter) come un gruppo di riflessioni di uno spazio Euclideo.
Tieni conto che la presentazione di \(D_{2n} = \langle s_1, s_2 \mid s_1^2 = s_2^2 = (s_1s_2)^n = (s_2s_1)^n = e \rangle\) lo pone "intrinsicamente" tra i gruppi euclidei di riflessione, ovvero esiste un modo abbastanza canonico per rappresentare un gruppo finito con una presentazione di questo tipo (gruppi finiti di Coxeter) come un gruppo di riflessioni di uno spazio Euclideo.
Grazie
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