Immersione dei gruppi nei gruppi alterni

[angus89]

Dimostrare $A_(n+2)$ ha un sottogruppo isomorfo a $G$, dove $G$ è un grupo con $n$ elementi.

Sinceramente non ho molte idee per svolgerlo, l'idea è di ridattare Cayley in qualche modo.
Tra le poche idee, magari sbagliate , c'è l'intenzione di capire quale è la possibile struttura di $Aut(G)$, quindi mi pongo le seguenti domande:
-Dato un generatore di ordine $h$ esiste un isomorfismo che lo spostat in un generatore dello stesso ordine e lascia fisso il resto?
Per i gruppi abeliani sì, ma in generale?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Per il teorema di Cayley, quello che dici è equivalente a dimostrare che $S_n$ si immerge in $A_{n+2}$,... e questo si può fare anche a mano!

[angus89]

Bè il fatto che sia equivalente non mi era scontato, infatti immagino possa succedere che un gruppo $G$ sia tale che ogni suo sottogruppo si immerga in un gruppo $G'$ ma che $G$ non si immerga in $G'$

Ad ogni modo questo non è il caso del problema.
Sarà che non è giornata, ma non mi riesce di concludere (avevo già provato quella strada).
Come immergo $S_n$ in $A_(n+2)$?
L'idea è ho due numeri in più...
Ma non mi riesce di chiudere

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Beh in effetti a priori è solo sufficiente, diventa equivalente a posteriori...

Hai due simboli in più.. quindi se lasci fisse le permutazioni pari, quelle dispari come fai a "correggerle"?

[angus89]

ok tutto chiarito, mi basta mandare le permutazioni pari in se stesse e le dispari in se stesse moltiplicate per $(a_(n+1),a_(n+2))$
La prima volta che l'ho pensata mi sembrava non funzionasse, che non fosse un omomorfismo, effettivamente lo è ed è anche banale vederlo.
Grazie dell'auito

in merito all'altra domanda

-Dato un generatore di ordine h esiste un isomorfismo che lo sposta in un generatore dello stesso ordine e lascia fisso il resto?
(ovvero che permuta solo i due generatori)
Per i gruppi abeliani sì, ma in generale?

Cosa si può dire?
Per me la risposta è negativa in generale (specie se il gruppo non è abeliano)

Ad esempio prendiamo i quaternioni, generati appunto da $$
poniamo che esista l'automorfismo tale che $f(i)=k$ e $f(k)=i$
Allora avremo che
$f(i*j)=f(k)=i$
mentre
$f(i*j)=f(i)*f(j)=k*j=-i$

Per i gruppi abeliani invece dovrebbe esser esatto, vero?

Poi già che il post è aperto, esiste davvero un gruppo con la proprietà prima detta?
Ovvero

immagino possa succedere che un gruppo G sia tale che ogni suo sottogruppo si immerga in un gruppo G' ma che G non si immerga in G'

Bè subito mi viene da pensare a $Z_4$, tutti i suoi sottogrippi propri (non sono tantissimi) si immergono in $Z_2$ ma lui assolutamente non lo fa.

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A occhio sembra vero per i gruppi abeliani, fermo restando che quando dici generatori intendi un insieme minimale di generatori.