Immagine di intersezione di insiemi

[luca961]

Nelle prime pagine di un libro di topologia algebrica trovo scritto $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap(B)$.
E' un errore del testo?
$f(A\cap B)=f(A)\cap(B)={ y| \exists x\epsilon A \wedge \exists x\epsilon B |f(x)=y}$ O sbaglio?

[Gi81]

No, non è un errore del testo.

Ti faccio un controesempio:
Consideriamo $f(x)= x^2$ definita su tutto $RR$.
Prendi $A= (-oo,0]$ e $B= [0,+oo)$ . Abbiamo $A nn B= {0}=> f( A nn B) = {0}$
Mentre $f(A)= f(B)= [0,+oo)$, dunque $f(A) nn f(B)= [0,+oo)$

Ecco, questo dimostra che non è sempre vero che $f(A) nn f(B)= f( A nn B) $

Aggiungo che
$f(A nn B) = {y \quad | \quad EE x in A nn B : y=f(x)}$ mentre

$f(A) nn f(B)= {y \quad | \quad EE a in A, EE b in B : y= f(a)= f(b)}$

[luca961]

grazie mille