Il principio d'induzione
In risposta al quesito da me suggerito a MAMO
(vedi post "esercizio algebrico-trigonometrico" in "Superiori")
avevo pensato che si potesse applicare il metodo
di "induzione completa".
Tuttavia mi sono trovato di fronte a questo dubbio:
se si ammette che una certa proprieta' valga per il valore N
(per poi cercare di dimostrare che vale anche per N+1)
e' poi possibile ipotizzare che la stessa proprieta' valga gia'anche per N-1? O supporre cio' equivale ad un circolo vizioso (..il cane che si morde la coda)?.
E' vero che se la proprieta' fosse soddisfatta anche per N-1,essendo
gia' soddisfatta per ipotesi per N,si finirebbe con l'aver dimostrato la cosa,ma mi pare strano che non si possa ipotizzare che valendo
per N non valga sicuramente anche per i valori minori di N.
Richiesta un po' confusa la mia , ma vorrei conoscere la vostra opinione in proposito.
Grazie.
karl.
Modificato da - karl il 31/12/2003 18:07:17
(vedi post "esercizio algebrico-trigonometrico" in "Superiori")
avevo pensato che si potesse applicare il metodo
di "induzione completa".
Tuttavia mi sono trovato di fronte a questo dubbio:
se si ammette che una certa proprieta' valga per il valore N
(per poi cercare di dimostrare che vale anche per N+1)
e' poi possibile ipotizzare che la stessa proprieta' valga gia'anche per N-1? O supporre cio' equivale ad un circolo vizioso (..il cane che si morde la coda)?.
E' vero che se la proprieta' fosse soddisfatta anche per N-1,essendo
gia' soddisfatta per ipotesi per N,si finirebbe con l'aver dimostrato la cosa,ma mi pare strano che non si possa ipotizzare che valendo
per N non valga sicuramente anche per i valori minori di N.
Richiesta un po' confusa la mia , ma vorrei conoscere la vostra opinione in proposito.
Grazie.
karl.
Modificato da - karl il 31/12/2003 18:07:17
Risposte
Una volta dimostrato che se vale a(N) vale anche a(N+1) c'è da vedere se l'ipotesi a(N) è valida. Siccome N è generico nessuno ci vieta di sostituire a N il valore N-1. Finché non arriviamo all'implicazione:
a(0) ==> a(1)
Ma a(0) è vera (base del procedimento d'induzione).
Ipotizzare che a(N-1) è vera è proprio del modo di procedere del principio d'induzione. E' indispensabile per la dimostrazione.
Non ci si morde la coda. Se dimostri che le implicazioni sono vere per n<=N non hai dimostrato il teorema. Potrebbero essere false per n>N. La chiave di tutto sta nel fatto che N è del tutto generico e quindi le implicazioni sono vere per OGNI N.
Il procedimento a ritroso cui tu fai riferimento serve per dare "una base" al procedimento. Infatti le implicazioni potrebbero essere tutte vere ma potrebbero partire da un assunto falso. E il teorema sarebbe falso.
Ne approfitto per augurare a te e a tutti gli altri un felice 2004! Ci sentiamo domani! ciao!
a(0) ==> a(1)
Ma a(0) è vera (base del procedimento d'induzione).
Ipotizzare che a(N-1) è vera è proprio del modo di procedere del principio d'induzione. E' indispensabile per la dimostrazione.
Non ci si morde la coda. Se dimostri che le implicazioni sono vere per n<=N non hai dimostrato il teorema. Potrebbero essere false per n>N. La chiave di tutto sta nel fatto che N è del tutto generico e quindi le implicazioni sono vere per OGNI N.
Il procedimento a ritroso cui tu fai riferimento serve per dare "una base" al procedimento. Infatti le implicazioni potrebbero essere tutte vere ma potrebbero partire da un assunto falso. E il teorema sarebbe falso.
Ne approfitto per augurare a te e a tutti gli altri un felice 2004! Ci sentiamo domani! ciao!
goblyn
Goblyn,deduzione assolutamente convincente!
Ne approfitto subito per applicarla a certe
questioni che avevo lasciate in sospeso proprio
in attesa di sciogliere il mio dubbio.
Ti ringrazio e ricambio gli AUGURI che
estendo a tutti gli amici del forum.
karl
Ne approfitto subito per applicarla a certe
questioni che avevo lasciate in sospeso proprio
in attesa di sciogliere il mio dubbio.
Ti ringrazio e ricambio gli AUGURI che
estendo a tutti gli amici del forum.
karl
Il principio di induzione io lo conosco così:
Sia k un particolare numero naturale; se sono vere le due proposizioni seguenti:
a) p(k) è vera
b) per ogni n appartenente ai naturali, con n=>k si ha : p(n) implica p(n+1)
allora p(n) è vera per ogni n=>k
quindi se vuoi dimostrare che p è vera sempre deve dimostrare anche che
c) per ogni n appartenente ai naturali, con n=
ovviamente se k = 0 (considero i naturali estesi) non serve dimostrare c
Sia k un particolare numero naturale; se sono vere le due proposizioni seguenti:
a) p(k) è vera
b) per ogni n appartenente ai naturali, con n=>k si ha : p(n) implica p(n+1)
allora p(n) è vera per ogni n=>k
quindi se vuoi dimostrare che p è vera sempre deve dimostrare anche che
c) per ogni n appartenente ai naturali, con n=
ovviamente se k = 0 (considero i naturali estesi) non serve dimostrare c
non vedo perchè bisogna farlo per induzione.
riscrivilo come (3/2)^n > n e fallo graficamente. il risultato si trova subito e vale anche se n varia su tutto l'asse reale..
riscrivilo come (3/2)^n > n e fallo graficamente. il risultato si trova subito e vale anche se n varia su tutto l'asse reale..
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