Il principio di induzione completa
Spero di non trattare un argomento trito e ritrito, ho utilizzato la funzione cerca ma con scarsi risultati! Il mio problema è la comprensione del principio di induzione completa.. a parole è chiarissimo.. però sono già fermo al primo esempio..
vi spiego..
si vuole dimostrare che:
[tex]2^0 + 2^1 + ... 2^n = 2^(2+1)-1[/tex]
ora la dimostrazione con n=0 è chiara.. però quando dimostra n=n+1 mi inscasino.. ecco come lo dimostra:
[tex]2^0 + 2^1 + ... 2^(n+1) = (2^0+2^1+...+2^n)+2^(n+1)[/tex]
e fin qui.. ci sono
[tex]2^0 + 2^1 + ... 2^(n+1) = (2^(n+1)-1)+2^(n+1)[/tex]
e già qui non ho capito cosa ha sostituito
poi.. [tex]2^0 + 2^1 + ... 2^(n+1) = (2*(2^(n+1)-1[/tex] qui ha solo "messo in evidenza"
ed infine:
[tex]2^0 + 2^1 + ... 2^(n+1) = (2^(n+2)-1)[/tex]
e così dice che è verificato il principio di induzione.. ma xkè?? aiutoooo
vi spiego..
si vuole dimostrare che:
[tex]2^0 + 2^1 + ... 2^n = 2^(2+1)-1[/tex]
ora la dimostrazione con n=0 è chiara.. però quando dimostra n=n+1 mi inscasino.. ecco come lo dimostra:
[tex]2^0 + 2^1 + ... 2^(n+1) = (2^0+2^1+...+2^n)+2^(n+1)[/tex]
e fin qui.. ci sono
[tex]2^0 + 2^1 + ... 2^(n+1) = (2^(n+1)-1)+2^(n+1)[/tex]
e già qui non ho capito cosa ha sostituito
poi.. [tex]2^0 + 2^1 + ... 2^(n+1) = (2*(2^(n+1)-1[/tex] qui ha solo "messo in evidenza"
ed infine:
[tex]2^0 + 2^1 + ... 2^(n+1) = (2^(n+2)-1)[/tex]
e così dice che è verificato il principio di induzione.. ma xkè?? aiutoooo
Risposte
Partiamo dall'ipotesi induttiva e dalla tesi induttiva.
Tu hai per ipotesi che $2^0+2^1+...+2^n=2^(n+1)-1$
E devi dimostrare che $2^0+2^1+...+2^n+2^(n+1)=2^(n+2)-1$
Hai scritto che hai capito tutto fino a qui
$2^0 + 2^1 + ... 2^(n+1) = (2^0+2^1+...+2^n)+2^(n+1)$
Il secondo membro di questa uguaglianza è $(2^0+2^1+...+2^n)+2^(n+1)$
Se noti, non a caso è stata messa una parentesi che raccoglie i primi $n$ termini.
Infatti $(2^0+2^1+...+2^n)= 2^(n+1)-1$ per ipotesi induttiva
Dunque arriviamo a $2^(n+1)-1 + 2^(n+1)$
A questo punto si riscrive tutto in modo più comodo (si "mette in evidenza", come dici tu)
$2*(2^(n+1))-1$ che è uguale a
$2^(n+2)-1$
Pertanto hai che
$2^0 + 2^1 + ... 2^(n+1)=2^(n+2)-1$
che è proprio quello che vuoi dimostrare
Tu hai per ipotesi che $2^0+2^1+...+2^n=2^(n+1)-1$
E devi dimostrare che $2^0+2^1+...+2^n+2^(n+1)=2^(n+2)-1$
Hai scritto che hai capito tutto fino a qui
$2^0 + 2^1 + ... 2^(n+1) = (2^0+2^1+...+2^n)+2^(n+1)$
Il secondo membro di questa uguaglianza è $(2^0+2^1+...+2^n)+2^(n+1)$
Se noti, non a caso è stata messa una parentesi che raccoglie i primi $n$ termini.
Infatti $(2^0+2^1+...+2^n)= 2^(n+1)-1$ per ipotesi induttiva
Dunque arriviamo a $2^(n+1)-1 + 2^(n+1)$
A questo punto si riscrive tutto in modo più comodo (si "mette in evidenza", come dici tu)
$2*(2^(n+1))-1$ che è uguale a
$2^(n+2)-1$
Pertanto hai che
$2^0 + 2^1 + ... 2^(n+1)=2^(n+2)-1$
che è proprio quello che vuoi dimostrare
ok tutto chiaro adesso..grazie!! Ho provato a fare un esercizio da solo, ma non riesco a capire un solo passaggio.. ovvero questo:
[tex]\sum_{k=1}^{n}(6k-4)=\sum_{k=1}^{n-1}(6k-4)+(6n-4)[/tex]
è una regola??
[tex]\sum_{k=1}^{n}(6k-4)=\sum_{k=1}^{n-1}(6k-4)+(6n-4)[/tex]
è una regola??
E' una uguaglianza sempre vera....
Nel secondo membro è riscritta la prima sommatoria, ma in modo diverso (probabilmente perchè verrà più comodo per i passaggi successivi)
Infatti la seconda sommatoria non va più da $1$ a $n$, ma da $1$ a $n-1$. Pertanto, per completare l'uguaglianza, manca l'$n$-esimo termine, che è appunto $(6n-4)$
Nel secondo membro è riscritta la prima sommatoria, ma in modo diverso (probabilmente perchè verrà più comodo per i passaggi successivi)
Infatti la seconda sommatoria non va più da $1$ a $n$, ma da $1$ a $n-1$. Pertanto, per completare l'uguaglianza, manca l'$n$-esimo termine, che è appunto $(6n-4)$
ok perfetto ne ho fatto io una da solo.. ecco cosa ho fatto:
[tex]\sum_{i=1}^{n}2i-1=n^2[/tex]
quindi
[tex]\sum_{i=1}^{n-1}2i-1=(n-1)^2[/tex]
quindi
[tex]\sum_{i=1}^{n}2i-1+(2n-1)=(n-1)^2[/tex]
sviluppando tutto
[tex]\sum_{i=1}^{n}2i-1=2n-1+(n-1)^2[/tex]
poi qui mi blocco
non riesco ad arrivare all'ugualianza.. come faccio??
[tex]\sum_{i=1}^{n}2i-1=n^2[/tex]
quindi
[tex]\sum_{i=1}^{n-1}2i-1=(n-1)^2[/tex]
quindi
[tex]\sum_{i=1}^{n}2i-1+(2n-1)=(n-1)^2[/tex]
sviluppando tutto
[tex]\sum_{i=1}^{n}2i-1=2n-1+(n-1)^2[/tex]
poi qui mi blocco
non riesco ad arrivare all'ugualianza.. come faccio??
scrivi cose un po' confuse, per fare questo esercizio vuoi usare l'induzione no?
allora usala bene.
vogliamo mostrare che $sum_(i=1)^(n)(2i-1)=n^2$
Passo 1. se n=1 , allora la formula è banalmente vera.
Passo 2. sappiamo per ipotesi che $sum_(i=1)^(n-1)(2i-1)=(n-1)^2$ , allora da questo vogliamo ricavare che $sum_(i=1)^(n)(2i-1)=n^2$
come pensi di fare?
tu hai scritto due uguaglianze, una giusta e una sbagliata.
quella giusta è chiaramente $sum_(i=1)^(n)(2i-1)=sum_(i=1)^(n-1)(2i-1) + 2n-1$
che per ipotesi induttiva sai essere uguale a $(n-1)^2+2n-1$ adesso devi far vedere che quest'ultima espressione è uguale a $n^2$
non è difficile ti pare?
allora usala bene.
vogliamo mostrare che $sum_(i=1)^(n)(2i-1)=n^2$
Passo 1. se n=1 , allora la formula è banalmente vera.
Passo 2. sappiamo per ipotesi che $sum_(i=1)^(n-1)(2i-1)=(n-1)^2$ , allora da questo vogliamo ricavare che $sum_(i=1)^(n)(2i-1)=n^2$
come pensi di fare?
tu hai scritto due uguaglianze, una giusta e una sbagliata.
quella giusta è chiaramente $sum_(i=1)^(n)(2i-1)=sum_(i=1)^(n-1)(2i-1) + 2n-1$
che per ipotesi induttiva sai essere uguale a $(n-1)^2+2n-1$ adesso devi far vedere che quest'ultima espressione è uguale a $n^2$
non è difficile ti pare?
[tex]\sum_{i=1}^{n}2i-1=n^2[/tex] Questo è ciò che devi dimostrare $AA n in NN$
La dimostrazione è per induzione, quindi ci vuole anche il caso base... Immagino che tu non lo abbia scritto ma che l'hai fatto
Passiamo dunque al Passo induttivo
[tex]\sum_{i=1}^{n-1}2i-1=(n-1)^2[/tex] Questa è l'ipotesi induttiva
Si deve dimostrare che [tex]\sum_{i=1}^{n}2i-1=n^2[/tex] [tesi induttiva]
Tu hai scritto
Ma non è così... devi partire dal primo membro della tesi induttiva e arrivare al secondo membro attraverso alcuni passaggi, soprattutto utilizzando l'ipotesi induttiva
Quindi: $sum_(i = 1)^(n) 2i-1 =...$ a cosa è uguale questa sommatoria?
$= [sum_(i = 1)^(n-1) 2i-1 ]+ 2n-1$ qui usi l'ipotesi induttiva e dunque hai
$=(n-1)^2+2n-1$
Non resta altro da fare che mostrare che quest'ultimo membro è uguale a $n^2$ (te lo lascio)
La dimostrazione è per induzione, quindi ci vuole anche il caso base... Immagino che tu non lo abbia scritto ma che l'hai fatto
Passiamo dunque al Passo induttivo
[tex]\sum_{i=1}^{n-1}2i-1=(n-1)^2[/tex] Questa è l'ipotesi induttiva
Si deve dimostrare che [tex]\sum_{i=1}^{n}2i-1=n^2[/tex] [tesi induttiva]
Tu hai scritto
"axl_1986":
[tex]\sum_{i=1}^{n}2i-1+(2n-1)=(n-1)^2[/tex]
Ma non è così... devi partire dal primo membro della tesi induttiva e arrivare al secondo membro attraverso alcuni passaggi, soprattutto utilizzando l'ipotesi induttiva
Quindi: $sum_(i = 1)^(n) 2i-1 =...$ a cosa è uguale questa sommatoria?
$= [sum_(i = 1)^(n-1) 2i-1 ]+ 2n-1$ qui usi l'ipotesi induttiva e dunque hai
$=(n-1)^2+2n-1$
Non resta altro da fare che mostrare che quest'ultimo membro è uguale a $n^2$ (te lo lascio)
allora io arrivo alla ugualianza:
[tex]\sum_{i=1}^{n-1}(2i-1)+2n-1=(n-1)^2[/tex] giusto??
poi cosa devo fare?
[tex]\sum_{i=1}^{n-1}(2i-1)+2n-1=(n-1)^2[/tex] giusto??
poi cosa devo fare?
"axl_1986":
allora io arrivo alla ugualianza:
[tex]\sum_{i=1}^{n-1}(2i-1)+2n-1=(n-1)^2[/tex] giusto??
no è sbagliato.
potresti leggere il mio post e quello di Gi8 tanto per cominciare, ti spieghiamo per ben 2 volte come fare questo esercizio!
e poi devi deciderti a mettere tutti i passaggi per bene, se no non si capisce niente, nemmeno dove sbagli, e non possiamo aiutarti.
allora che sono pippa.. penso sia chiaro 
.. avete ragione.. non avevo capito gran chè delle vostre spiegazioni.. scusatemi per il macello.. ora ho capito.. avevo difficoltà a capire "l'uso dell'ipotesi induttiva". La risoluzione dopo quel passaggio è immediata.
Grazie ancora a tutti.. spero di non avervi fatto impazzire troppo
.. avete ragione.. non avevo capito gran chè delle vostre spiegazioni.. scusatemi per il macello.. ora ho capito.. avevo difficoltà a capire "l'uso dell'ipotesi induttiva". La risoluzione dopo quel passaggio è immediata.Grazie ancora a tutti.. spero di non avervi fatto impazzire troppo
eccomi con un nuovo esercizio..
allora io devo provare che:[tex]\sum_{i=1}^{n+2}2(i-1)=n^2+3n+2[/tex]
allora provo P(1) e vabbè.. poi come ipotesi induttiva uso P(n+1) ho che: [tex]\sum_{i=1}^{n+3}2(i-1)=(n+1)^2+3(n+1)+2[/tex]
quindi: [tex]\sum_{i=1}^{n+2}2(i-1)= \sum_{i=1}^{n+3}2(i-1)-2(n-1)=(n+1)^2+3(n+1)+2-2(n-1)[/tex] giusto?!?
ora risolvendo l'equazione ottengo [tex]n^2+3n+6[/tex]
sono pippa io o c'è qualcosa che non va!??!
allora io devo provare che:[tex]\sum_{i=1}^{n+2}2(i-1)=n^2+3n+2[/tex]
allora provo P(1) e vabbè.. poi come ipotesi induttiva uso P(n+1) ho che: [tex]\sum_{i=1}^{n+3}2(i-1)=(n+1)^2+3(n+1)+2[/tex]
quindi: [tex]\sum_{i=1}^{n+2}2(i-1)= \sum_{i=1}^{n+3}2(i-1)-2(n-1)=(n+1)^2+3(n+1)+2-2(n-1)[/tex] giusto?!?
ora risolvendo l'equazione ottengo [tex]n^2+3n+6[/tex]
sono pippa io o c'è qualcosa che non va!??!
C'è qualcosa che non va Hai scambiato l'ipotesi induttiva con la tesi induttiva
Tu hai per ipotesi che $ sum_(i = 1)^(n+2) 2(i-1)= n^2+3n+2$ e devi dimostreare che $ sum_(i = 1)^(n+3) 2(i-1)= (n+1)^2+3(n+1)+2$
Per partire, inizia scrivendo
$ sum_(i = 1)^(n+3) 2(i-1)=...$ che poi puoi scrivere come....
Hai scambiato l'ipotesi induttiva con la tesi induttivaTu hai per ipotesi che $ sum_(i = 1)^(n+2) 2(i-1)= n^2+3n+2$ e devi dimostreare che $ sum_(i = 1)^(n+3) 2(i-1)= (n+1)^2+3(n+1)+2$
Per partire, inizia scrivendo
$ sum_(i = 1)^(n+3) 2(i-1)=...$ che poi puoi scrivere come....
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