Il più generale prodotto in \( \mathbb R^2 \) commutativo e distributivo rispetto alla somma componente per componente

[marco2132k]

Ciao. Leggo che

[Se si vuole un prodotto in \( \mathbb{R}^2 \) che abbia le proprietà di quello di \( \mathbb R\) (\( \left(\mathbb R,{\cdot}\right) \) è un gruppo abeliano) e che rispetti la norma \( \lVert(a,b)\rVert=\left(a^2+b^2\right)^{1/2} \)] ci si convince rapidamente che deve mescolare le componenti dei fattori.

Perché?

E inoltre

Si può dimostrare che il più generale prodotto in \( \mathbb R^2 \) commutativo e distributivo rispetto alla somma componente per componente è del tipo \[
(a,b)\cdot (c,d)=(\alpha ac+\beta(ad+bc)+\gamma bd,\alpha^\prime ac+\beta^\prime(ad+bc)+\gamma^\prime bd)
\]

Mi dareste qualche suggerimento? Poi, che significa "il più generale prodotto"?

[luca691]

Ciao. Questo non risponde esattamente alla tua domanda, ma dà un'idea della ricerca di un prodotto in $\mathbb{R}^2$ "il più generale possibile" compatibilmente con certe richieste (nella fattispecie, lì erano: distributività rispetto all'addizione, bilinearità, $1$ elemento neutro moltiplicativo, legge di annullamento del prodotto).

[luca691]

Per il secondo punto. In generale, con la somma componente per componente (e la definizione di un "prodotto per scalari"), ogni elemento di $\mathbb{R}^2$ si può scrivere in modo univoco come combinazione lineare di $1=(1,0)$ e $i=(0,1)$, $z=a1+bi$. Ora, se la moltiplicazione "$\cdot$" che stiamo costruendo è:

1. distributiva rispetto a questa addizione;
2. commutativa,

allora, detti $z,w \in (\mathbb{R}^2,+,\cdot)$, si ha:

\begin{alignat*}{1}
z\cdot w &= (a1+bi)\cdot(c1+di) \\
&=ac(1\cdot 1)+(ad+bc)(1\cdot i)+bd(i\cdot i) \\
\tag 1
\end{alignat*}
Per la chiusura della moltiplicazione, i tre prodotti si possono esprimere in tutta generalità come:

\begin{alignat*}{1}
&1\cdot 1=\alpha1+\alpha'i \\
&1\cdot i=\beta1+\beta'i \\
&i\cdot i=\gamma1+\gamma'i \\
\tag 2
\end{alignat*}
Sostituendo $(2)$ in $(1)$:

\begin{alignat*}{1}
z\cdot w &= ac(\alpha1+\alpha'i)+(ad+bc)(\beta1+\beta'i)+bd(\gamma1+\gamma'i) \\
&=(\alpha ac+\beta(ad+bc)+\gamma bd)1+(\alpha' ac+\beta'(ad+bc)+\gamma' bd)i \\
&=(\alpha ac+\beta(ad+bc)+\gamma bd,\alpha' ac+\beta'(ad+bc)+\gamma' bd) \\
\tag 3
\end{alignat*}

(Una curiosità: possiamo cominciare a perdere di generalità richiedendo che $1$ sia elemento neutro per questa moltiplicazione; allora, da $(2)$ segue: $\alpha=1$, $\alpha'=0$, $\beta=0$ e $\beta'=1$; con la moltplicazione che ne discende, possiamo richiedere in aggiunta che valga la legge di annullamento del prodotto; questo porta verso il contenuto del post che ti ho linkato nella risposta precedente. Ciao)

[marco2132k]

Grazie mille. Ora sono un po' incasinato, ma appena avrò un attimo mi leggerò tutto per bene!