Il numero 1 non lo vedo mai indicato come numero primo.
Non mi ricordo più cosa mi è stato insegnato a scuola, però gli elenchi nei numeri primi mi sembrano iniziare sempre dal 2.
Quindi la domanda è se c'è un motivo per cui il numero 1 non è un numero primo.
Quindi la domanda è se c'è un motivo per cui il numero 1 non è un numero primo.
Risposte
Non soddisfa la proprietà che definisce i numeri primi.
Dipende da come definisci i primi; un tempo, lo era.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Uno dei motivi per cui si è deciso di escludere l'unità dalla definizione di numero primo è il seguente:
Se \( 1 \) fosse primo un numero non avrebbe più una decomposizione in fattori primi che è essenzialmente unica.
Essenzialmente perché se
\[ n = \prod_{j = 1}^{ k} p_j \]
è una decomposizione in fattori primi, allora
\[ n = \prod_{j = 1}^{k} p_{\sigma(j)} \]
dove \( \sigma \in S_k \) è una permutazione, lo è. A meno di permutazione dei fattori, è unica.
Se \(1\) fosse allora
\[ n = \prod_{j = 1}^{ k} p_j \]
ma anche
\[ n =1 \cdot \prod_{j = 1}^{ k} p_j \]
\[ n =1 \cdot 1 \cdot \prod_{j = 1}^{ k} p_j \]
etc.
quindi ciascun numero possiede infinite fattorizzazioni in numeri primi.
Discorso analogo vale negli anelli a fattorizzazione unica \(\mathbb{Z} \) è un anello a fattorizzazione unica.
Dove se \(A \) è un anello a fattorizzazione unica e \( u \) è un unità dell'anello (ovvero è invertibile per il prodotto) allora per ogni \( a \in A \) esiste una decomposizione in fattori primi (o irriducibili).
\[ a = \prod_{j = 1}^{ k} p_j \]
e se
\[a= \prod_{j = 1}^{ \ell} q_j \]
è un altra fattorizzazione allora \( \ell = k \) ed esiste un \( \sigma \in S_k \) tale che \( p_i \) e \( q_{\sigma(i)} \) sono associati per ogni \( 1 \leq i \leq k \). Associati vuol dire che esiste un elemento invertibile per il prodotto \(u_i \) in \( A \) tale che
\[ p_i = u_i q_{\sigma(i)} \]
Ora in \( \mathbb{Z} \) gli irriducibili sono i primi \(p \) e \(-p \). E gli unici invertibili sono \(1\) e \(-1\). pertanto come puoi vedere le cose quadrano. Se accetti che gli irriducibili sono anche unità allora puoi arbitrariamente moltiplicare per \(u_i \) e \( u_i^{-1} \) creando fattorizzazioni in primi arbitrariamente lunghe perdendo l'unicità essenziale.
Se \( 1 \) fosse primo un numero non avrebbe più una decomposizione in fattori primi che è essenzialmente unica.
Essenzialmente perché se
\[ n = \prod_{j = 1}^{ k} p_j \]
è una decomposizione in fattori primi, allora
\[ n = \prod_{j = 1}^{k} p_{\sigma(j)} \]
dove \( \sigma \in S_k \) è una permutazione, lo è. A meno di permutazione dei fattori, è unica.
Se \(1\) fosse allora
\[ n = \prod_{j = 1}^{ k} p_j \]
ma anche
\[ n =1 \cdot \prod_{j = 1}^{ k} p_j \]
\[ n =1 \cdot 1 \cdot \prod_{j = 1}^{ k} p_j \]
etc.
quindi ciascun numero possiede infinite fattorizzazioni in numeri primi.
Discorso analogo vale negli anelli a fattorizzazione unica \(\mathbb{Z} \) è un anello a fattorizzazione unica.
Dove se \(A \) è un anello a fattorizzazione unica e \( u \) è un unità dell'anello (ovvero è invertibile per il prodotto) allora per ogni \( a \in A \) esiste una decomposizione in fattori primi (o irriducibili).
\[ a = \prod_{j = 1}^{ k} p_j \]
e se
\[a= \prod_{j = 1}^{ \ell} q_j \]
è un altra fattorizzazione allora \( \ell = k \) ed esiste un \( \sigma \in S_k \) tale che \( p_i \) e \( q_{\sigma(i)} \) sono associati per ogni \( 1 \leq i \leq k \). Associati vuol dire che esiste un elemento invertibile per il prodotto \(u_i \) in \( A \) tale che
\[ p_i = u_i q_{\sigma(i)} \]
Ora in \( \mathbb{Z} \) gli irriducibili sono i primi \(p \) e \(-p \). E gli unici invertibili sono \(1\) e \(-1\). pertanto come puoi vedere le cose quadrano. Se accetti che gli irriducibili sono anche unità allora puoi arbitrariamente moltiplicare per \(u_i \) e \( u_i^{-1} \) creando fattorizzazioni in primi arbitrariamente lunghe perdendo l'unicità essenziale.
Grazie.
Quello che ho capito è che si sono individuati argomenti contrari a che 1 sia un numero primo.
3m0o ancora una volta mi fa capire che debbo imparare un po di matematica.
Quello che ho capito è che si sono individuati argomenti contrari a che 1 sia un numero primo.
3m0o ancora una volta mi fa capire che debbo imparare un po di matematica.
In effetti, al contrario dei numeri primi, il numero 1 non fa distinzione tra numeri composti e numeri primi.
Ok, ma alla fine dei conti, la definizione di primitudine che usate qual è?
Credo che ByDante sia interessato anche a questa.
P.S.: In realtà, si è discusso molto anche sul se considerare primo o meno il $2$... Pare assurdo, ma tant'è.
Credo che ByDante sia interessato anche a questa.
P.S.: In realtà, si è discusso molto anche sul se considerare primo o meno il $2$... Pare assurdo, ma tant'è.
"gugo82":
Ok, ma alla fine dei conti, la definizione di primitudine che usate qual è?
Credo che ByDante sia interessato anche a questa.
In \( \mathbb{N} \) la definizione di primo che uso è la seguente:
Sia \( p \in \mathbb{N} \), \(p \neq 1 \), se \(p \) ammette come divisori solo \(1\) e \(p\), allora è detto primo.
Per quanto riguarda un generico dominio d'integrità ( \( \mathbb{N} \) non è un anello per questo l'ho specificato), uso la definizione di primo seguente:
Siano \( a,b \in A \) e \( p \in A^* \), diciamo che \(p\) è primo se \( p \not\in A^{\times} \) e se \( p \mid ab \) implica che \( p \mid a \) oppure \( p \mid b \).
E per la definizione di irriducibile per gli anelli commutativi:
Siano \( a,b \in A \) e \( p \in A^* \), diciamo che \(p \) è irriducibile se \( p \not\in A^{\times} \) e se \( p = ab \) allora \( a \in A^{\times} \) oppure \( b \in A^{\times} \).
Dove con \( A^* = A \setminus \{0\} \) e \( A^{\times} = \{ u \in A : \exists u^{-1} \text{ t.c } u u^{-1} = 1 \} \)
"gugo82":
P.S.: In realtà, si è discusso molto anche sul se considerare primo o meno il $2$... Pare assurdo, ma tant'è.
Davvero? Interessante... non sapevo, sai dirmi anche il motivo?
"3m0o":
[quote="gugo82"]Ok, ma alla fine dei conti, la definizione di primitudine che usate qual è?
Credo che ByDante sia interessato anche a questa.
In \( \mathbb{N} \) la definizione di primo che uso è la seguente:
Sia \( p \in \mathbb{N} \), \(p \neq 1 \), se \(p \) ammette come divisori solo \(1\) e \(p\), allora è detto primo.[/quote]
Ok, ma devi già richiedere che $p != 1$... Forse è meglio la seguente:
"Un numero $p in NN$ se ha solo due divisori distinti"
in cui non hai bisogno di specificare che $p != 0,1$.
[Per inciso, questa è quella che uso coi bimbi a scuola.]
"3m0o":
Per quanto riguarda un generico dominio d'integrità ( \( \mathbb{N} \) non è un anello per questo l'ho specificato), uso la definizione di primo seguente:
Siano \( a,b \in A \) e \( p \in A^* \), diciamo che \(p\) è primo se \( p \not\in A^{\times} \) e se \( p \mid ab \) implica che \( p \mid a \) oppure \( p \mid b \).
E per la definizione di irriducibile per gli anelli commutativi:
Siano \( a,b \in A \) e \( p \in A^* \), diciamo che \(p \) è irriducibile se \( p \not\in A^{\times} \) e se \( p = ab \) allora \( a \in A^{\times} \) oppure \( b \in A^{\times} \).
Dove con \( A^* = A \setminus \{0\} \) e \( A^{\times} = \{ u \in A : \exists u^{-1} \text{ t.c } u u^{-1} = 1 \} \)
Che mi paiono standard, se non erro.
"3m0o":
[quote="gugo82"]
P.S.: In realtà, si è discusso molto anche sul se considerare primo o meno il $2$... Pare assurdo, ma tant'è.
Davvero? Interessante... non sapevo, sai dirmi anche il motivo?[/quote]
Beh, se ricordo bene, perché $2$ è l'unico primo pari e ci sono teoremi sui primi che valgono solo per i primi dispari... Quindi nell'enunciare tali teoremi converrebbe assumere $2$ non primo, in modo da evitare di specificare ogni volta $p != 2$.
Grazie gugo82 per le risposte semplici e chiare.
Io nel frattempo su un altro forum ho trovato questa risposta
"1 non è primo per convenzione.
Questa convenzione è molto comoda perché permette di enunciare alcuni risultati, come il teorema fondamentale dell'aritmetica, senza elencare eccezioni.
Non ci sarebbe niente di male a scegliere una convenzione diversa, ma i matematici sono d'accordo nell'utilizzare questa."
Io nel frattempo su un altro forum ho trovato questa risposta
"1 non è primo per convenzione.
Questa convenzione è molto comoda perché permette di enunciare alcuni risultati, come il teorema fondamentale dell'aritmetica, senza elencare eccezioni.
Non ci sarebbe niente di male a scegliere una convenzione diversa, ma i matematici sono d'accordo nell'utilizzare questa."
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