Il MCD tra due polinomi può essere un intero?

[la.spina.simone]

Ho $f(x)=x^4+3x^3-x^2-2x+3$ e sia $A=QQ_(/f(x))$
Provare che $g(x)=\bar (X^2-1)$ è invertibile in $A$.
Io so che $\bar (X^2-1)$ è invertibile $\Leftrightarrow MCD(g(x),f(x))=1$

Svolgo l'algoritmo di Euclide, ma ottengo sempre 8 come ultimo resto. Quindi $\bar (g(x))$ non è invertibile. Giusto?

[Paolo902]

In $\mathbb{K}[X]$ ($\mathbb{K}$ campo) i polinomi costanti non nulli sono tutti e soli gli elementi invertibili (sono elementi di $\mathbb{K}$!).

In pratica, per due polinomi avere MCD pari a 8, 1000 o un qualunque altro numero (una costante, insomma) è come avere MCD 1. Nel tuo caso, te ne puoi convincere scrivendo l'identità di Bézout (a secondo membro scrivi 8) e poi moltiplicando ambo i membri per $8^(-1) \in QQ$.

[la.spina.simone]

Come determino l'inversa?

[Paolo902]

"MrJack":Come determino l'inversa?

L'inversa di chi?

[la.spina.simone]

Provare che $g(x)=\bar (X^2-1)$ è invertibile in $A$ e determinare il suo inverso

questa è la richiesta completa.
Negli appunti ho che $g$ è invertibile se $\exists h |\bar(g)*\bar(h)=\bar(1)$
però non so come si determina h, a me verrebbe da fare $1/h$ però non credo che sia così semplice.

[Paolo902]

"MrJack":

Provare che $g(x)=\bar (X^2-1)$ è invertibile in $A$ e determinare il suo inverso

questa è la richiesta completa.
Negli appunti ho che $g$ è invertibile se $\exists h |\bar(g)*\bar(h)=\bar(1)$
però non so come si determina h, a me verrebbe da fare $1/h$ però non credo che sia così semplice.

Hai presente come si trova l'inverso di un elemento negli anelli $ZZ/{nZZ}$? Qui è più o meno la stessa cosa. Scrivi l'identità di Bézout: detti $f,g$ i due polinomi di partenza (quello per cui quozienti e l'altro di cui cerchi l'inverso), sai che esistono due polinomi $a,b$ t.c. $af+gb=1$.

Se leggi l'ultima uguaglianza $"mod" f(x)$ hai che $gb \equiv 1$, ossia $b$ è l'inverso di $g$ modulo $f$.

Ok?