Il coniugato di un prodotto è il prodotto di due coniugati?

[hint1]

Dato un numero algebrico $\gamma$, chiamiamo "coniugati di $\gamma$" le radici del suo polinomio minimo.
(È noto che dati due numeri algebrici $\alpha,\ \beta$ anche il loro prodotto $\alpha\beta$ è algebrico.)
È vero che ogni coniugato di $\alpha\beta$ è il prodotto di un coniugato di $\alpha$ e un coniugato di $\beta$?

[maurer]

Dove stiamo lavorando? Dici "numero", quindi immagino in [tex]\mathbb Q[/tex]. In questo caso la risposta è sì. Infatti, sia [tex]K[/tex] la chiusura galoisiana di [tex]\mathbb Q[\alpha, \beta][/tex]. Tutti e soli i coniugati di [tex]\alpha[/tex] sono della forma [tex]\sigma(\alpha)[/tex] al variare di [tex]\sigma \in \rm{Gal}(K/\mathbb Q)[/tex] (in generale ci saranno ripetizioni, ma non ci interessa). Analogo discorso vale per i coniugati di [tex]\beta[/tex] e per quelli di [tex]\alpha \beta[/tex]. Ma adesso [tex]\sigma(\alpha\beta) = \sigma(\alpha) \sigma(\beta)[/tex] e quindi ogni coniugato di [tex]\alpha\beta[/tex] è prodotto di un coniugato di [tex]\alpha[/tex] e uno di [tex]\beta[/tex].

Questo discorso vale più in generale. Mi pare che basti che [tex]F[\alpha, \beta][/tex] sia un'estensione separabile di [tex]F[/tex], nel qual caso puoi considerarne la chiusura normale e ragionare come prima.

[hint1]

"maurer":Tutti e soli i coniugati di [tex]\alpha[/tex] sono della forma [tex]\sigma(\alpha)[/tex] al variare di [tex]\sigma \in \rm{Gal}(K/\mathbb Q)[/tex] [...] Mi pare che basti che [tex]F[\alpha, \beta][/tex] sia un'estensione separabile di [tex]F[/tex]

Chiedo scusa per il necroposting, ma solo ora posso comprendere il linguaggio della tua risposta.
Quello che ho citato non vale sempre prendendo come \(\displaystyle K \) il campo di spezzamento di \(\displaystyle p(x)q(x) \), con \(\displaystyle p(x) \) e \(\displaystyle q(x) \) che sono i polinomi minimi di \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) su \(\displaystyle \mathbb Q \), al variare di \(\displaystyle \sigma\in\rm{Aut}(K/\mathbb Q) \)?
Dove fallisce allora il ragionamento se al posto di \(\mathbb Q\) prendo un generico campo \(K\) (con caratteristica \(\neq 0\) ovviamente)?